卡爾德隆-齊格蒙德估計（Calderon-Zygmund estimates）
/ kal-deh-RON ZIG-moond /
卡爾德隆-齊格蒙德估計是橢圓正則性的第三根大柱，以 L^p 尺度寫成——那是「積分取冪」而非逐點大小的語言。它回答：若 - Laplacian u = f 的右端 f 僅是 L^p 可積，u 的二階導數有多可積？乾淨而令人意外的答案是，所有二階導數都和 f 一樣可積：若 f 屬於 L^p，則 u 的黑塞矩陣每一項也屬於 L^p，對每個嚴格介於 1 與 infinity 之間的 p 皆然。
具體地說，估計讀作：D^2 u 的 L^p 範數不大於某常數 C(n,p) 乘 f 的 L^p 範數，仍是增益兩階導數，現在是在 L^p 意義下。底層的引擎是調和分析的瑰寶之一。u 的黑塞矩陣由 f 透過一個奇異積分算子還原——與一個衰減速度像「距離的負 n 次方」的核做卷積，恰好坐落在可積性的臨界邊界上。卡爾德隆與齊格蒙德證明：這類奇異積分算子對每個 1 < p < infinity 都在 L^p 上有界，做法是把任意函數分解為一個良好的有界部分與一個壞的、支撐在一族受控立方體上的振盪部分（卡爾德隆-齊格蒙德分解）。那一條關於奇異積分的定理，便讓橢圓的 L^p 估計作為推論落地。
既然已有索伯列夫與史考德，L^p 為何還重要？因為端點不同，而 L^p 尺度能在它們之間靈活內插。當 p 趨於 infinity 時，L^p 估計連向賀德爾／史考德的世界；當 p 趨於二時，它還原 H^2 能量估計。臨界情形 p = 1 與 p = infinity 是真正不成立的——在那些端點上二階導數可能不可積，須以較弱的替代物取代（頂端是有界平均振盪，底端是弱 L^1）。對非線性問題、以及對「粗糙資料如何傳到解上」的精細控制而言，L^p 的靈活性不可或缺。
在某區域上求解 - Laplacian u = f，其中 f 屬於 L^3 但無界——譬如 f 有一個溫和的局部尖峰。卡爾德隆-齊格蒙德估計保證每個二階導數 u_(x_i x_j) 也屬於 L^3，其範數受 f 的 L^3 範數控制。再由索伯列夫嵌入，這便給出 grad u 的賀德爾連續性，故即便 f 無界，解仍有連續的梯度。
進去 L^p、出來整個黑塞矩陣都 L^p——對每個嚴格介於 1 與 infinity 之間的 p，但端點不行。
此估計在 p = 1 與 p = infinity 時確實失效。一個有界（L^infinity）的右端並不保證二階導數有界——經典例子是一個連續的 f，其解的黑塞矩陣有對數型爆破。良好的範圍是開區間 1 < p < infinity，而常數 C(n,p) 在 p 趨近任一端點時退化。