布朗運動的強馬可夫性（strong Markov property of Brownian motion）

布朗運動 B_t 在每個「固定」時刻都是無記憶的：給定 B_t，未來的增量 B_(t+s) - B_t 是一個獨立於過去的全新布朗運動。深層的問題是：當這個時刻由過程本身選定——一個隨機停時 tau，例如 B 首次擊中水平 a 的時刻——這種重啟是否仍然成立。強馬可夫性給出肯定答案，而它正是布朗路徑幾乎所有精細結果背後唯一的引擎：反射原理、首達律、漂程理論（excursion theory）以及位勢理論，全都歸結為在巧妙選定的 tau 處重啟。

精確地說，設 tau 是相對於右連續、完備化的布朗濾過的停時，F_tau 為 tau 之前的 σ-代數。在 {tau < infinity} 上定義 tau 之後的過程 W_s = B_(tau+s) - B_tau。強馬可夫性說 W 是一個標準布朗運動，且獨立於 F_tau。證明用的是離散化論證：用取有限或可數多個值的停時 tau_n 從上方逼近 tau，此時一般（固定時刻）馬可夫性可直接套用；再讓 tau_n 遞減到 tau，並利用路徑的幾乎必然連續性取極限。樣本路徑的連續性正是讓極限乾淨的關鍵——這也是為何布朗運動這個具連續路徑的費勒過程自動具強馬可夫性。

重要性：固定時刻的馬可夫性確實較弱，且存在「不」具強馬可夫性的馬可夫過程，因此這是須被證得、而非假設的定理。對布朗運動而言，其回報極大。把 tau 之後的路徑反射（之所以合法，是因為它是一個全新的對稱布朗運動）便得到 P(max_(u<=t) B_u >= a) = 2 P(B_t >= a)。在擊中之後重啟，是離開零點之漂程的遞迴結構、以及過程在每次穿越水平時更新的基礎。沒有強形式，所有這些隨機時刻的論證都將失效。