首達時的分布律（first-passage time law）
布朗運動首次到達水平 a 需多久？答案是首達（擊中）時 tau_a = inf{ t : B_t = a }，其分布是理論中最重要的顯式分布之一——指數為 1/2 的單側穩定律，尾部極重，使得 tau_a 雖幾乎必然有限，卻具「無窮」期望。
由反射原理，P(tau_a <= t) = P(M_t >= a) = 2 P(B_t >= a) = 2(1 - Phi(a / sqrt(t)))。對 t 微分得密度 f_(tau_a)(t) = (a / sqrt(2 pi t^3)) exp(-a^2 / (2t))，t > 0；這是李維（穩定-1/2）分布，也是反高斯的極限。兩個事實使其非凡。其一，tau_a < infinity 幾乎必然成立（布朗運動在直線上常返，故能到達每個水平），但 E[tau_a] = +infinity，因為密度在大 t 處僅以 t^(-3/2) 衰減。其二，族 {tau_a : a >= 0} 具平穩獨立增量——由強馬可夫性，擊中 a 後從 a 到 a + b 所需的時間是 tau_b 的獨立副本——所以 a -> tau_a 本身是一個李維過程，事實上是指數 1/2 的穩定從屬過程。其拉普拉斯變換為 E[exp(-lambda tau_a)] = exp(-a sqrt(2 lambda))，正是 1/2-穩定律的乾淨標誌。
重要性：首達律主宰破產與違約時刻、金融中障礙擊中的時機，以及尺度律 tau_a =d a^2 tau_1，後者重新表達了布朗自相似性（距離隨 sqrt(時間) 縮放）。無窮期望的尾部是其誠實的內涵：你「終將」擊中水平 a，但期望等待時間是無窮，因此基於平均的樣本路徑直覺會誤導人。對 a > 0，變量 B_(tau_a) = a 是確定的，但 tau_a 重尾；對區間的雙側脫離，分布不同（一個快速衰減的級數），故勿將單側擊中與雙側脫離混淆。
由於 tau_a =d a^2 tau_1，把目標水平 a 加倍會使典型擊中時間變為四倍——布朗距離隨時間的平方根成長。然而 E[tau_a] = infinity，所以一檔「終將」回到目標的基金，其期望回復時間可以是無窮。
擊中時間是穩定-1/2 律：幾乎必然有限，重尾、密度 ~ t^(-3/2)，且期望無窮。
tau_a 幾乎必然有限，但 E[tau_a] = infinity；且 a -> tau_a 是 1/2-穩定從屬過程。單側擊中與區間的雙側脫離遵循「不同」的分布律。