布朗最大值的分布（distribution of the Brownian maximum）

記 M_t = max_(0<=u<=t) B_u 為布朗運動在 [0, t] 上的跑動最大值。物理與金融中一個自然的問題——過程曾爬得多高，而非只是終於何處？——正由反射原理精確回答，它同時給出 M_t 的邊際分布，以及一個將其與絕對值 |B_t| 連結的醒目恒等式。

反射原理給出，對 a >= 0，P(M_t >= a) = 2 P(B_t >= a) = P(|B_t| >= a)。讀出分布：M_t 與 |B_t| 同分布，即半常態（折疊常態）分布。其密度為 f_(M_t)(a) = sqrt(2 / (pi t)) exp(-a^2 / (2t))，a >= 0。其期望為 E[M_t] = sqrt(2t / pi)，變異數為 (1 - 2/pi) t。還有更多：(M_t, B_t) 的「聯合」分布也由同一反射得出——對 a >= max(b, 0)，密度為 P(M_t in da, B_t in db) = sqrt(2/(pi t^3)) (2a - b) exp(-(2a - b)^2 / (2t)) da db——由此可回收經典恒等式：(M_t, M_t - B_t) 與 (|B_t|, L_t) 同分布，其中 L_t 是 0 處的局部時（李維定理），亦即 M_t - B_t 的分布如同 |B_t|。

重要性：最大值的分布為回顧型與障礙型選擇權定價，主宰統計中的最大偏差（柯爾莫哥洛夫-斯米爾諾夫檢定），並且是通往首達時的門戶，因為 {M_t >= a} = {tau_a <= t}。一個值得明說的提醒：M_t 在「分布」上等於 |B_t|，而非逐路徑相等——M_t 遞增且非負，而 |B_t| 振盪，所以儘管共用一維邊際，它們是非常不同的過程。更深的逐路徑陳述是李維恒等式 (M_t - B_t, M_t) =d (|B_t|, L_t)，這是關於局部時的定理，而非顯然之事。