波赫納空間（Bochner space）
/ BOKH-ner /
研究演化方程時，思考解 u(x, t) 最乾淨的方式，是暫時忘掉 x，盯著一個運動的點來看：在每個時刻 t，你手上握著一整個空間剖面 u(., t)——一個 x 的函數——而隨著 t 推進，這個剖面就在某個函數空間中漂移。於是解變成一條曲線，t 對應到 u(t)，在無窮維空間中描出一條路徑。波赫納空間正是這類曲線的自然居所：它度量那些「值本身是巴拿赫空間（常是索伯列夫空間）元素」的時間函數。
具體來說，給定巴拿赫空間 X（想成 X = L^2(Omega) 或空間剖面所在的索伯列夫空間 H^1_0(Omega)），波赫納空間 L^p(0, T; X) 由那些從時間區間 (0, T) 映到 X 的映射 u 組成，使得 integral from 0 to T of (u(t) 在 X 中的範數)^p dt 這個數為有限——正是一般 L^p 的定義，只是把絕對值換成 X-範數。所以 u 屬於 L^2(0, T; H^1_0) 的意思是：在幾乎每個瞬間剖面都落在 H^1_0 中，而它的 H^1 大小平方後對時間積分為有限。拋物型問題的變分形式正是用這套語言寫出來的：通常 u 在 L^2(0, T; H^1_0) 中，而其時間導數 u' 在 L^2(0, T; H^{-1}) 中。
正是這套記帳法讓現代的存在性理論行得通。伽遼金逼近在有限維的空間子空間中構造解；你所證明的能量估計就是波赫納範數下的界；再用一個緊緻性論證取極限。把「時間」與「空間」這樣分開——對 t 做一個普通積分，被積分的東西取值在巴拿赫空間裡——就把 (x, t) 中的偏微分方程，化成讀起來幾乎像常微分方程 u' + A u = f（在抽象空間 X 中）的東西，這正是通往半群觀點的門戶。
對熱方程的初邊值問題而言，標準的解類是 u 屬於 L^2(0, T; H^1_0(Omega))，且 u' 屬於 L^2(0, T; H^{-1}(Omega))。第一條說「空間剖面大部分時間落在 H^1_0 中，且總 H^1 能量有限」；第二條說「以較弱的對偶範數量度的變化率，對時間也是平方可積的」。兩者合起來，就使 u 在時間上連續且取值於 L^2。
拋物型弱解所棲身的自然函數類。
波赫納空間並不等同於 (x, t) 的聯合函數空間：L^2(0, T; H^1_0) 控制的是每個時刻的空間 H^1-範數，再對 t 積分，這確實比僅僅是 (x, t) 的 L^2 要強。把「先取 X-範數、再對時間積分」這個順序弄清楚，正是關鍵所在。