布萊克-修斯方程（Black-Scholes equation）
/ blak SHOHLZ /
假設你想買一個「在三個月後以固定價格買進某股票」的權利（而非義務）——也就是「買權」。既然股價漫無規則地遊走，這個權利今天值多少？布萊克-修斯方程回答了這個問題。它是把金融衍生品變成嚴謹數學學科的突破，而它本質上就是穿著細條紋西裝的熱方程。
令 V(S, t) 為選擇權的價值，視為標的股價 S 與時間 t 的函數。在模型假設下，V 滿足 V_t + (1/2) sigma^2 S^2 V_SS + r S V_S - r V = 0，其中 sigma 是股票的波動率（價格的抖動程度），r 是無風險利率。關鍵項是 (1/2) sigma^2 S^2 V_SS，一個擴散項：股價的不確定性把選擇權價值瀰散開來，恰如熱的擴散。它是一個倒向拋物型方程——你已知到期時的價值（履約報酬，是 S 的已知函數），於是沿時間倒著求解以得到今日價值。一個變數變換（對 S 取對數並反轉時間）會把它字面上化為標準熱方程 u_tau = u_xx，這正是存在乾淨閉式定價的原因。
這裡還有一座更深的橋：費曼-卡茨公式指出，這類拋物型偏微分方程的解可寫成對標的隨機（布朗）路徑的期望值。於是為選擇權定價 = 對股票所有可能遊走方式，取其貼現報酬的平均，這正是擴散偏微分方程與機率兩種圖像相遇之處。誠實的提醒分量很重：模型假設波動率為常數、交易無摩擦、價格服從對數常態——這些都是市場慣常違反的假設（「波動率微笑」就是可見的傷疤），因此布萊克-修斯是出色的基準，而非真理。
經由代換 x = log S 並反轉、重新標度時間，布萊克-修斯方程恰好變成 u_tau = u_xx，即熱方程。歐式買權著名的閉式「布萊克-修斯公式」，便不過是熱核（一個高斯函數）與報酬的卷積——使溫度尖峰平滑的同一套數學，把選擇權的到期報酬沿時間倒向平滑了開來。
一個倒向熱方程；費曼-卡茨把它連結到對擴散路徑取平均。
沿時間倒向求解是適定的（已給到期報酬），這與真正不適定的「給初始資料的倒向熱方程」不同——方向很重要。而它理想化的假設（波動率為常數、無跳躍）系統性地不準，這就是為什麼真實交易檯會加上修正，而非信賴赤裸的公式。