擴散即布朗運動（diffusion as Brownian motion）

在顯微鏡下觀察一粒花粉在水中抖動：它沿著一條雜亂、顫動、無法預測的路徑跌跌撞撞——這就是布朗運動。現在觀察一整團這樣的微粒。每一粒各自隨機且獨立地遊走，然而整團卻平滑且可預測地散開，正如熱擴散的方式。擴散即布朗運動，就是這個發現：熱方程是隨機遊走粒子密度所服從的定律。

把它說精確。讓一個粒子做布朗運動，一種步伐獨立、無偏好方向的隨機遊走，其散布隨時間的平方根成長。釋放許多這樣的粒子，令 p(x,t) 為它們的機率密度（或等價地，一大團粒子的密度）。則 p 恰好滿足擴散方程 p_t = D p_xx，擴散係數 D 由隨機步伐的變異數決定。這個連結是雙向的。熱核 G(x,t)，來自點源的高斯解，正是一個起始於原點的布朗粒子在時間 t 所在位置的機率密度——事實上時間 t 的布朗增量是變異數正比於 t 的高斯，這正是為什麼核隨 sqrt(t) 變寬。所以解熱方程與計算隨機遊走者跑到哪裡，是同一個計算。

這個機率圖像極富啟發、也在實務上強大。它直觀地解釋了熱方程的特徵：平滑來自對所有隨機路徑取平均；無限傳播速度來自一個遊走者已經跳得很遠的（微乎其微但非零的）機率；總熱量守恆就是總機率守恆。它也給出一個方法——費曼-卡茨公式（Feynman-Kac）把熱型 PDE 的解表為對布朗路徑的期望值，把 PDE 問題化為蒙地卡羅模擬，並支撐了選擇權定價的布萊克-修斯理論。提醒：這個乾淨的對應是針對線性熱／擴散方程；加入漂移、變係數或邊界會相應改變隨機過程（漂移項、反射或吸收邊界），而非線性 PDE 一般沒有這麼簡單的粒子圖像。