上半平面的自同構（automorphisms of the upper half-plane）
上半平面是虛部為正（y > 0）的複數 z = x + i y 所成的集合——實軸嚴格上方的一切。它是單位圓盤的孿生兄弟：兩個區域看似不同，卻共形地完全相同，因此它們共享同一套對稱、只是換了個裝扮。上半平面的自同構是這個區域的解析、可逆自映射，而它們用實數有一個極為乾淨的描述。
上半平面的每個共形自同構都有形式 f(z) = (a z + b)/(c z + d)，其中 a, b, c, d 是滿足 a d - b c > 0（行列式為正）的實數。這些恰是係數為實、行列式為正的莫比烏斯映射。係數為實使實軸映到實軸（其中一點滑向無窮遠），而行列式為正使上半留在直線上方而非翻到下方。把四個係數一起放縮不改變映射，故自然的群是 PSL(2,R)：行列式為 1 的 2 乘 2 實矩陣，模去正負單位矩陣。平移 z -> z + b（b 實）、伸縮 z -> a^2 z（a 實）與反演 z -> -1/z 生成整個群。
既然有了圓盤，何必還用半平面？因為對許多計算而言半平面更友善——它的對稱群是具體的實矩陣群 PSL(2,R)，這是通往模群 SL(2,Z)、進而通往模形式、橢圓曲線與數論的門戶。凱萊變換 z -> (z - i)/(z + i) 是把圓盤自同構翻譯成半平面自同構、再翻回來的明確字典。一個誠實的提醒：係數必須為實、行列式必須為正。實係數但行列式為負會把上半平面映到下半平面（效果上像反共形的翻轉）；複係數則徹底破壞實軸。
映射 f(z) = -1/z 的係數為 a=0, b=-1, c=1, d=0，行列式 ad - bc = 1 > 0，故它是上半平面的自同構：它把 i 送到 i（不動點），並把虛軸反向地掃到自身。與平移 z -> z + 1 結合，這兩者生成作用於半平面的模群 SL(2,Z)——模形式的源頭。
z -> -1/z 與 z -> z + 1 生成半平面上的模群。
在這裡容許複係數是常見的錯誤。對半平面而言，係數必須為實且行列式為正。（相對地對圓盤而言，自然的矩陣群是 PSU(1,1)，其元為具特定共軛對稱形狀的複數。）同一個抽象群，不同的具體實現。