凱萊變換（Cayley transform）
/ KAY-lee /
複分析有兩個最愛的舞台來演繹其定理：上半平面（實軸以上的一切）與單位圓盤（圓 |w| = 1 之內的一切）。半平面對某些論證方便，圓盤對另一些方便——因此擁有一部明確而完美、在兩者之間互譯的字典極其有用。凱萊變換就是那部字典：一個把上半平面共形且雙射地映滿開單位圓盤的特定莫比烏斯變換。
其公式為 w = (z - i)/(z + i)。追蹤它的作為：點 z = i（深處於上半平面）送到 0（圓盤的中心）。半平面的邊界，即實軸，映到圓盤的邊界，即單位圓：對任何實數 x，分子與分母 x - i 與 x + i 有相等的模（彼此互為共軛），故商的模恰為 1。極點在 z = -i，落在下半平面，安全地在我們關心的區域之外，而 z = 無窮遠映到 w = 1。身為莫比烏斯映射，它自動共形且保圓，因此實軸加無窮遠（一個通過無窮遠的「圓」）正確地變成真正的圓 |w| = 1。
何必費此功夫？因為它讓你能免費地把每一個圓盤的結果搬進半平面，反之亦然。施瓦茨引理、圓盤自同構的分類、帕松積分公式、雙曲度量——通常都在兩個區域中較易者上證明，再藉凱萊變換運送過去。它是整個學科中使用最頻繁的單一共形映射。一個關於定向的警告：w = (z - i)/(z + i) 把上半平面送到圓盤；密切相關的映射 (z + i)/(z - i) 或一個變號則改送下半平面，因此引用公式前先確認你指的是哪一半。
檢驗一個邊界點：z = 0（在實軸上）映到 w = (0 - i)/(0 + i) = -i/i = -1，落在單位圓上。而內部點 z = i 映到 w = (i - i)/(i + i) = 0，即圓盤的中心——印證內部映到內部、邊界映到邊界。
凱萊變換把 i 釘到圓盤中心、把實軸釘到單位圓。
並沒有唯一的「那個」凱萊變換——任何把半平面送到圓盤的莫比烏斯映射都配得此名，它們彼此相差一個圓盤的旋轉。形式 (z - i)/(z + i) 只是最常見的正規化。