由三點決定莫比烏斯映射

假設你想要一個把一組三點送到另一組選定三點的莫比烏斯變換——比方說，它要把一個區域的這三個角送到這三個目標位置。有多少自由度？又該如何實際構造這個映射？乾淨的答案是：這三點把它完全釘死——恰有一個莫比烏斯變換把任意三個相異點送到任意另外三個相異點。不多不少——三是那個神奇數字。

為何是三？莫比烏斯映射形如 (a z + b)/(c z + d)，而四個係數同乘一個數毫無改變，因此其實只有三個獨立的複自由度。每一個「把這點送到那點」的條件用掉一個自由度，於是三個條件唯一地定死映射。唯一性也可由不動點推得：若兩個映射都辦到此事，則一個與另一個的反函數合成會固定三點，而非恆等的莫比烏斯映射至多固定兩點——故兩映射必相同。

要明確構造它，用交比。為把 z_1, z_2, z_3 送到 w_1, w_2, w_3，寫下方程 (w, w_1; w_2, w_3) = (z, z_1; z_2, z_3)——令兩交比相等——再把 w 解成 z 的函數。由於交比在莫比烏斯映射下不變，所得的 w(z) 自動把三個源點映到三個目標點。這正是生成模型區域之間每一個具名共形映射的標準機器：你在每個區域上挑三個方便的邊界點（常含無窮遠），其餘交給公式。一個實用提醒：三點必須相異，且須尊重定向——以正確的循環順序送出邊界的三點，才能保證內部映到內部而非外部。