圓盤的自同構群（automorphism group of the disk）
把圓盤的每一個共形自同構——每個解析、一對一、映滿的自映射——全部收集起來，你會得到一個對複合封閉（先做一個再做另一個，仍在集合裡）且對取反封閉的集合。這使它成為一個群：圓盤的自同構群，記作 Aut(D)。它是圓盤解析對稱的完整目錄，是圓盤雙曲幾何剛體運動的全名單。
每個元素都有標準形式 f(z) = e^(i theta) (z - a)/(1 - a-bar z)，其中 |a| < 1 且 theta 為實數，故此群由三個實數參數化：中心被送往何處（點 a，兩個座標）與最後的旋轉角 theta。兩個這樣的映射複合得到同形式的另一個——你可驗證這是貨真價實的群運算，單位元是映射 z -> z，反元素由另一個自同構給出。在結構上，Aut(D) 同構於矩陣群 PSU(1,1)（保持某不定型的 2 乘 2 複矩陣，模去純量），且透過凱萊變換同構於 PSL(2,R)，即上半平面的自同構群。所以「圓盤對稱」與「上半平面對稱」是同一個抽象群披著兩件外衣。
這個群正是圓盤配稱為齊性幾何的原因：它可遞移地作用（把任一點搬到任何另一點），而點的穩定子是旋轉，故圓盤是該群對一個旋轉子群的商（齊性空間）。它恰是龐加萊度量的保定向等距群。它也是雙曲鋪砌、模形式（透過像模群這樣的離散子群）與圓盤譜分析背後的對稱群。一個誠實的範圍說明：這裡的 Aut(D) 指的是解析自同構。把反共形的反射納入會得到大一倍的群，但那些翻轉定向，落在這個解析故事之外。
複合仍留在群內：先旋轉 theta（z -> e^(i theta) z），再用布拉施克因子 B_a 重新置中。結果又是形式 e^(i phi)(z - b)/(1 - b-bar z)（對某新的 b 與 phi）。特別地，純旋轉子群 {z -> e^(i theta) z} 恰是中心 0 的穩定子，因為那些是唯一固定 0 的自同構（這正是施瓦茨引理在說話）。
旋轉是 0 的穩定子；它們與布拉施克重置中一起生成整個 Aut(D)。
Aut(D) 作為實群是三維的，並非完整的六實維莫比烏斯群：只有保持圓盤的莫比烏斯映射才算數。也要當心它是非交換的——以兩種次序複合旋轉與布拉施克重置中會得到不同結果。