圓盤的共形自同構（conformal automorphism of the disk）
圓盤的共形自同構是一種把單位圓盤光滑且可逆地重新洗牌到自身、同時保留每一個角度的方式。可以把它想成圓盤的一種剛體運動——不是普通歐氏意義下的剛性（它確實扭曲歐氏長度），而是雙曲意義下的剛性：它是圓盤自身非歐幾何的一個對稱。這些映射搬動圓盤而不撕裂、不折疊，也不改變它作為幾何物件的「本質」。
具體地說，映射 f 是單位圓盤的共形自同構，若它解析、一對一、且映滿圓盤（其反函數於是自動也解析）。值得注意的分類定理說，每個這樣的映射都恰有一種形式：f(z) = e^(i theta) (z - a) / (1 - a-bar z)，其中 a 是圓盤內某點（|a| < 1），theta 是實角。分兩步來讀。因子 (z - a)/(1 - a-bar z) 是一個布拉施克因子：它把選定的點 a 送到中心 0，本身就是自同構。因子 e^(i theta) 不過是繞中心的旋轉。所以每個圓盤自同構都是「選定把中心送到何處，再旋轉」——總共三個實參數（a 的兩個座標，加上角度 theta）。沒有其他自同構的證明兩次用到施瓦茨引理：給定任一自同構，先標準化使其固定 0，由施瓦茨推得它是旋轉，再還原標準化。
這些映射是使圓盤成為雙曲幾何齊性模型的對稱：它們可遞移地作用（可把任一點滑到任何另一點），而且它們恰是龐加萊度量的保定向等距映射。它們無處不在——作為施瓦茨-皮克引理的構件、在圓盤上算子的譜理論中、在雙曲鋪砌中、以及在複動力系統中。一個誠實的提醒：這些是解析（保定向）的自同構。若你也容許反射（像 z -> z-bar 後接一個自同構這樣的反共形映射），你會得到更大的群，但那些翻轉定向且不解析。
取 a = 1/2 的映射 f(z) = (z - a)/(1 - a-bar z) 把 1/2 送到 0、把 0 送到 -1/2。驗證它留在圓盤內：當 |z| = 1 時，一個簡短的計算給出 |f(z)| = 1，故邊界圓映射到邊界圓，再由最大模原理，內部映射到內部。它是圓盤內部點的一種特有的鏡像對調。
把 a 送到 0 的布拉施克因子——每個圓盤自同構中基本的非旋轉構件。
一個常見的混淆：並非每個莫比烏斯映射都保持圓盤——只有上述特殊形式者才如此。一般的莫比烏斯映射把圓映到圓，但可能把單位圓搬到某個完全不同的圓。圓盤自同構恰恰是那些剛好把 |z| = 1 作為集合固定、並把內部留在內部的莫比烏斯映射。