平面與球面的自同構（automorphisms of the plane and the sphere）
理解了圓盤與半平面的對稱之後，自然要問另外兩個基本的「整個空間」區域：整個複平面 C，以及黎曼球面（加上單一無窮遠點的平面）。各有自己完整的共形對稱名單，而答案簡短、乾淨，並揭示一個層級：區域越大，它的對稱越被迫規矩。
對整個平面 C，共形自同構——C 到自身的解析雙射——恰是非常數的仿射映射 f(z) = a z + b，其中 a 不為零。如此而已：先以 a 旋轉縮放，再以 b 平移。證明依靠劉維爾定理與無窮遠處的奇點：平面的自映射在無窮遠處必有極點（而非本性奇點），這迫使它是多項式，而雙射性迫使該多項式的次數為 1。對黎曼球面，自同構是完整的莫比烏斯群：f(z) = (a z + b)/(c z + d)，其中 a d - b c 不為零、係數為複數、模去放縮——即群 PSL(2,C)。球面的每個共形對稱都是分式線性變換；別無其他。所以球面的自同構群是六實維，平面的是四實維，圓盤與半平面的是三實維。
這條遞降的階梯是本學科最令人難忘的事實之一。球面最對稱（任意三點都能由唯一的莫比烏斯映射送到任意三點）；平面次之（你不再能搬動無窮遠點）；圓盤與半平面最緊（只有三個實參數）。一個回扣黎曼映射定理的誠實提醒：整個平面 C 與圓盤共形地不同——由劉維爾定理，沒有從 C 映滿圓盤的共形映射——這正是為何 C 被排除在黎曼映射定理之外，也是為何 C 與 D 雖同為單連通，卻有真正不同的自同構群。
在平面上，f(z) = 2 z + 1 是自同構（縮放 2 倍、平移 1）；f(z) = z^2 不是（它是二對一，並非雙射）。在球面上，f(z) = 1/z 是交換 0 與無窮遠的自同構——在那裡完全合法，因為無窮遠是球面的一個正當的點，但在缺了無窮遠的裸平面上則不可能。
平面只容許仿射映射；球面容許所有莫比烏斯映射，包括 z -> 1/z。
別把平面與球面混淆：z -> 1/z 是球面的自同構，但不是平面的（它在 0 處無定義，且在平面上永不取值 0）。加上無窮遠點，正是把仿射群升級為完整莫比烏斯群的關鍵。