最大概似估計

想像有人遞給你一顆骰子，你擲了 60 次，其中 30 次出現六點。有人問：這是一顆公平的骰子，還是一顆灌了鉛的骰子？常識告訴你，一顆被做手腳、偏向六點的骰子，遠比一顆公平骰子更能解釋這組資料。最大概似估計把這種常識變成了方法：在未知參數所有候選取值之中，挑出使你實際觀察到的資料最有可能出現的那一組取值。你選擇的，是讓你的資料最不令人意外的那個解釋。

具體來說，你寫出概似——把觀察到的資料的機率（或密度）看作未知參數的函數——然後找出使它最大化的參數值。由於把許多小機率相乘很笨拙，實務上人們最大化對數概似（各對數之和），它的峰值位置與原概似相同。對於擲 n 次、出現 k 次正面的硬幣，概似在 p = k / n 處最大化，與直覺完全吻合。對於更難的模型，則由電腦沿對數概似曲面數值地「爬山」。使之最大化的那組取值，就是最大概似估計。

最大概似是現代精算估計的主力：死亡率、損失嚴重度參數、以及廣義線性模型的係數，都是這樣擬合出來的。它的吸引力很深——在相當寬泛的條件下，最大概似估計是相合的、漸近有效的（大樣本下沒有估計量更優），並且透過對數概似的曲率自帶一套計算標準誤差的公式。誠實的提醒是：它在小樣本下可能有偏；它完全信任你所選的模型（分佈選錯就會給出自信卻錯誤的答案）；而數值搜尋也可能卡在錯誤的峰上。