貝氏定理

貝氏定理是把條件機率「反過來」的法則。你常常知道「在患病條件下出現某症狀」的機率，但你真正想要的是「在出現該症狀條件下患病」的機率。貝氏定理就是把前者變成後者的數學機器——它是新證據到來時更新信念的正式配方。

其最簡單的形式是 P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)。你從先驗信念 P(A) 出發——即在看到證據之前 A 的機率。證據 B 到來後，你乘以「若 A 為真，該證據出現的可能性」，再除以「該證據總體出現的可能性」，便得到後驗機率 P(A | B)。那條著名而反直覺的教訓是：對於一種每 1000 人中只有 1 人患的疾病，即使檢測準確率高達 99%，結果仍會以誤報為主，因為這種罕見病被大量偶爾檢測呈陽性的健康人所淹沒。基礎發生率（基率）至關重要。

貝氏定理是許多精算推理的哲學骨幹。貝氏信度——把某投保人自身的理賠經驗與更廣群體的經驗加以融合——正是貝氏定理的實際運用，其中群體費率充當先驗，而個體的記錄充當證據。它支撐著健康精算工作中對疾病檢測的解讀、詐欺評分，以及任何需要隨資料積累而理性修正機率的場合。