維納-伊藤積分（Wiener-Ito integral）
/ VEE-ner EE-toh /
維納-伊藤積分是每個維納混沌的具體實現：它把一個確定性核對 n 份白噪音積分，產生恰好落在第 n 混沌的隨機變數。n = 1 時它是普通的維納積分 integral f dB（確定性函數）；一般 n 時它是建構混沌分解較高層的多重隨機積分。它讓你把混沌元素寫成積分，而非抽象的厄米組合。
單重（n = 1）積分：對 f in L^2(R_+)，定義 I_1(f) = integral f(t) dB_t，為中心化高斯，E[I_1(f)^2] = integral f(t)^2 dt（伊藤／維納等距）；這就是第一混沌。多重（n 重）積分：對對稱核 f in L^2((R_+)^n)，I_n(f) = n! 乘以遞增單純形上的迭代積分 integral_(t_1 < t_2 < ... < t_n) f dB_(t_1) ... dB_(t_n)，等價於 f 在整個 (R_+)^n 上去掉對角線的積分。關鍵事實是等距 E[I_n(f) I_n(g)] = n! < f_sym, g_sym >_(L^2) 以及跨階正交，E[I_m(f) I_n(g)] = 0（m != n）。與厄米多項式的橋樑：若 ||h|| = 1 則 I_n(h tensor ... tensor h) = H_n(I_1(h))，故張量冪的多重積分恰為第一混沌變數的厄米多項式。必須排除對角線 {t_i = t_j}；在其上積分會重新引入 (dt) 項並破壞等距——這是伊藤修正在多重積分中的影子。
重要性：映射 f -> I_n(f) 是從對稱 L^2 核到第 n 混沌的（重新標度的）等距，故整個混沌分解化為「F = sum I_n(f_n)，對唯一的對稱核序列 f_n」。這是馬利亞萬計算、鞅表示定理（每個 L^2 布朗泛函都是某個可預測被積函數的單一伊藤積分——其一階 Clark-Ocone 項）、以及固定混沌中泛函的定量中央極限定理背後的表示。提醒：它確實是 n「線性」的，且對角線必須去除；天真地把 integral f dB 取冪「不」會得到 I_n。
當 ||f|| = 1，雙重積分 I_2(f tensor f) 等於 (integral f dB)^2 - integral f^2 dt = Z^2 - 1 = H_2(Z)，其中 Z = integral f dB 為標準常態。減去 integral f^2 dt 正是去掉對角線 {t_1 = t_2}；沒有它你會得到 Z^2，而它因平均非零而不在第 2 混沌中。
去掉對角線把 Z^2 變成 Z^2 - 1 = H_2(Z)：多重維納積分恰好落在第二混沌。
多重維納積分須刪去對角線；在其上積分會重新引入伊藤的 (dt) 修正，故 integral f dB 的冪「不」等於 n 重積分。