鞅表示定理（martingale representation theorem）
鞅表示定理是關於布朗運動的一個完備性陳述：它說在布朗世界裡，除了對布朗運動的隨機積分之外別無其他鞅。每一個隨機性的來源、每一個公平賭局過程，都由布朗增量構成、再無其他。這是布朗運動驅動的市場為何完備（每個或有請求權都可避險）的抽象原因，也是倒向 SDE 與避險策略明確建構背後的存在定理。
精確地說：令 B 為布朗運動、(F_t) 為其擴充的自然濾過（由 B 生成、滿足通常條件的濾過）。則關於 (F_t) 的每個平方可積鞅 M 都有表示 M_t = M_0 + integral_0^t H_s dB_s，其中 H 是唯一（至不可區分）的可料過程且 E[integral_0^T H^2 ds] < infinity。等價地，每個 F_T-可測的平方可積隨機變數 Y 可寫成 Y = E[Y] + integral_0^T H_s dB_s。d 維版本把單一積分換成和 sum_i integral H^i dB^i。深刻的內涵是布朗濾過具有可料表示性質：對 B 的隨機積分已窮盡該濾過的所有鞅。一條乾淨的證明路徑利用隨機指數（或維納混沌／埃爾米特多項式）在布朗濾過 L^2 中的稠密性，再以伊藤公式表示每一個，並藉線性與 L^2 稠密性擴展。
它的用途是基礎性的。在金融中它就是市場完備性的數學內涵：任何收益都是某自融資策略 integral H dS 的終端值，故 H 即避險、而定理保證它存在（不過，誠實地說，它是存在定理且通常非建構性——明確找出 H 才是難處，由克拉克-奧科內或 PDE 方法處理）。它是倒向隨機微分方程與濾波的存在性骨幹。不可捨棄的誠實提醒：(1) 濾過必須是布朗的（其擴充的自然濾過）。若你以額外的獨立隨機性擴大濾過，表示便失效——屆時存在不是布朗積分的鞅（如獨立的補償卜瓦松過程），市場不完備。(2) 定理給出 H 的存在與唯一，但一般不給出公式；克拉克-奧科內公式在馬利亞萬可微下提供一個。(3) 它是布朗（以及更一般地、具表示性質的李維）濾過所特有的；一般濾過並不具有可料表示性質，這正是不完備市場的抽象標誌。
把 Y = B_T^2（一個 F_T-可測的平方可積變數）表示為常數加布朗積分。由伊藤，B_t^2 = integral_0^t 2 B_s dB_s + t，故 B_T^2 = T + integral_0^T 2 B_s dB_s = E[B_T^2] + integral_0^T 2 B_s dB_s。積分子為 H_s = 2 B_s、常數為 E[Y] = T——正是定理所承諾的表示，此處由伊藤公式明確找出。
Y = B_T^2 = E[Y] + integral H dB，其中 H = 2B；在布朗濾過中每個 L^2 變數都有這樣的表示。
定理只對布朗濾過（或具可料表示性質的濾過）成立；以獨立跳躍或額外隨機性擴大它，表示便失效——這是市場不完備的抽象面貌。它通常也是存在性結果，而非求出積分子 H 的配方。