良態與病態問題（well-conditioned vs ill-conditioned）

想像通往觀景台的兩條路。在平緩的路上，偏離一步幾乎還在你想去的地方。在刀鋒般的山脊上，橫移一步就摔下懸崖。良態問題就是那條平緩的路：輸入誤差小，輸出誤差就小。病態問題就是那道山脊：極小的輸入誤差能把答案甩得離譜。分界線就是條件數的大小。

量化地說，「良」與「病」是程度問題，從條件數 kappa 讀出。kappa 接近 1 極佳；kappa 到幾百或幾千仍算舒適的良態；kappa 約為 10^8 表示你已損失 16 位雙精度數字裡的大約一半，應該開始不安；kappa 接近 10^16 則表示對雙精度而言，問題實際上已無解——再也沒有準確度可以損失了。經驗法則是：你純粹因為條件性就會失去大約 log10(kappa) 位有效數字。

誠實而常令人意外的一點：病態不是你能除錯掉的程式錯誤。若底層問題本身病態，換演算法、加檢查、或把程式打磨得再漂亮都救不了準確度——只有重新表述問題（例如避開接近抵消、改用一個適定性更好的量）或採用更高精度才行。許多真實的病態問題藏在無害的外表下：相減兩個幾乎相等的數、擬合高次多項式、或對各列幾乎共線的矩陣求逆。