馮諾伊曼穩定性分析（von Neumann stability analysis）
/ fon NOY-mahn /
拉克斯告訴你，對線性格式而言收斂歸結為穩定性——但你究竟如何檢驗穩定性？馮諾伊曼分析是實用的答案，而且具體得令人愉快。想法是：把單一個傅立葉波餵入格式，問格式是讓它在相鄰兩個時間步之間增長還是縮小。若每一個可能的波都保持有界，格式就穩定；若任一個波增長，它終將佔據主導並使解爆破。
操作上：假設誤差形如 u(x, t) = G^n e^(i theta j)，這是一個空間頻率為 theta、位於格點 j 與時間層 n 的波，其中 G 是未知的「放大因子」。把它代入差分格式；空間平移會化為 e^(i theta) 與 e^(-i theta) 之類的因子，合併成餘弦，整個式子塌縮為一條關於 G（作為 theta 的函數）的方程。穩定性要求很簡單：對 [0, pi] 中的每個頻率 theta 皆有 |G(theta)| <= 1（若確實預期增長，可放寬為 |G| <= 1 + C dt）。只要有一個 theta 使 |G| 超過 1，該模態便每步被放大，格式即不穩定。
對熱方程的 FTCS 算出來，得 G = 1 - 4r sin^2(theta/2)。最壞情況是 theta = pi，給出 G = 1 - 4r，而要求 |G| <= 1 便逼出 r <= 1/2——這正是 FTCS 的穩定性上限，如今是推導而非猜測得來的。此法快速、無需軟體，且能解釋一個上限為何呈現某種形式。它誠實的限制是：基本形式假設常係數與週期（或無窮）邊界——它忽略邊界效應與變係數，因此是一個必要的局部條件，真實邊界有時會破壞分析所預測的穩定性。
對 u_t + a u_x = 0（a > 0）的迎風格式，可算出 |G|^2 = 1 - 2 c(1-c)(1 - cos theta)，其中 c = a dt/h 是庫朗數。這恰在 0 <= c <= 1 時至多為 1——直接從放大因子重現了 CFL 條件。
放大因子把穩定性問題化為簡單的代數。
馮諾伊曼分析嚴格來說是「線性、常係數、無邊界」的工具。通過它是必要的，但對有真實邊界或變係數的問題並不總是充分——邊界不穩定性可能悄悄溜過它。