克蘭克-尼科森格式（Crank-Nicolson scheme）
/ KRANK NIK-ol-son /
FTCS 便宜卻被微小的時間步長綁住；後向尤拉無條件穩定，但在時間上只有一階精度，因此略嫌模糊。克蘭克-尼科森是兼取兩者之長的優雅折衷：它既無條件穩定，又在空間與時間上都是二階精度。其想法很簡單——把空間部分取在新舊兩個時間層的正中間，也就是取顯式與隱式更新的平均。
對 u_t = k u_xx，把時間導數寫成前向差分 (u_new - u_old)/dt，但把空間樣板取為它在舊時間與新時間值的「平均」：(u_new - u_old)/dt = (k/2)(舊時間的 u_xx + 新時間的 u_xx)。由於新時間項把相鄰的新值混在一起，你無法再逐點計算 u_new——每一步都得解一個把所有新值耦合在一起的線性方程組。在一維空間中該方程組是三對角的，用湯瑪斯演算法可極快解出。這使該格式成為「隱式」：你每步付出一次求解的代價，卻可採用大時間步長而不爆破。
它的亮點在於：長時間的擴散問題——你想要精度，卻不想被 FTCS 的步長束縛。誠實的提醒是：「無條件穩定」並不等於「永遠表現良好」。克蘭克-尼科森對最高頻的誤差模態阻尼不強——其放大因子接近 -1——因此尖銳的跳變或不連續的初始分布，可能產生持續、緩慢衰減的振盪（有時稱為鈴振）。對於極粗糙的資料，通常的補救是先走幾步後向尤拉，或改用稍具耗散性的變體。
對一根初始分布為尖銳方波的棒加熱。FTCS 需 dt <= h^2/2 而爬行；克蘭克-尼科森讓你採用與 h 相當的 dt，以遠少的步數抵達同一終了時刻，代價是每步解一個三對角方程組——但要留意原跳變附近的輕微波紋。
二階且無條件穩定，但阻尼輕微——不連續處須提防鈴振。
無條件「穩定」不等於無條件「準確」：克蘭克-尼科森上的超大時間步長雖保持有界，卻可能相當不準。穩定性約束的是增長，而非誤差。