拉克斯等價定理（Lax equivalence theorem）

凡是離散偏微分方程的人都被一個問題糾纏：我做好了一個有限差分格式，也加密了網格——但我的數值答案真的逼近真解嗎？拉克斯等價定理對線性、適定的問題給出一個乾淨、近乎神奇的答案。它說你只需檢查兩件較簡單的事，收斂便自動隨之而來。

這兩件事是相容性與穩定性。相容性是指該格式確實是正確方程的近似——其截斷誤差隨網格加密而趨於零（於是加密網格會使離散方程緊貼真正的偏微分方程）。穩定性是指誤差不會在向前推進時爆破——微小擾動在加密下保持有界，而不會一步步被放大到淹沒答案。該定理陳述：對一個適定線性初值問題的相容有限差分格式而言，穩定性是收斂的充分必要條件。一句口號：相容 + 穩定 = 收斂。其深刻之處在於，難以直接檢驗的收斂性，被化約為通常可用傅立葉／馮諾伊曼分析徒手解決的穩定性。

這條定理是整個學科的理論支柱——這也是我們為何如此執著於 CFL 上限之類的穩定性條件。不過要仔細看它的三個框框：它適用於「線性、適定」的問題，而且它「不」告訴你收斂的速率（相容性給出階數，穩定性給出有界性，兩者合起來保證誤差趨於零，但常數與速率還需更多工作）。對非線性問題——例如帶震波的守恆律——這個乾淨的等價會失效，並由拉克斯-溫德羅夫定理這類更艱深的結果取代。