以代入驗證解

關於微分方程，有一個極為令人安心的事實：即使「找出」一個解很難，「檢查」一個被提出的解卻容易又完全機械化。你不需要知道答案是怎麼找到的，也不必管方法是否正當。你只要拿候選函數、算出它的導數、把它們丟進方程，看兩邊是否相等。若相等，它就是解——句點。

精確地說，要驗證一個被提出的解，你算出方程所需的每一個導數，把函數與這些導數代入兩邊，化簡，再確認方程對所關注區間內的所有 x 都化為一個真正的恆等式。範例：y = e^(-x) 是 y' + y = 0 的解嗎？算 y' = -e^(-x)。代入：y' + y = -e^(-x) + e^(-x) = 0。左邊對每一個 x 都等於右邊（零），所以是的，驗證通過。這個檢查純粹是代數與微分——不涉及求解。

這項技能比看起來更重要。它讓你能確認教科書的答案、抓出算術上的小錯、或檢驗一個猜出來的解（待定係數法本質上就是有根據的猜測加上驗證）。它也釐清了「成為一個解」真正的意思：不是你正確地推導出它，而是它處處滿足方程。對隱解，你用隱微分做同樣的事。每當你不確定某個東西是否解一個方程時，別爭論——代入，讓方程來裁決。