顯解與隱解

當你終於釘住一個解時，它可能以兩種不同的形態到來。有時你會得到 y 乾淨地獨自端上，成為一個整齊的公式：y 等於某個關於 x 的表達式。其他時候，你能做到的最好程度是一個把 x 與 y 綁在一起、卻沒有把 y 孤立出來的方程式——關係是真的，但 y 糾纏在裡頭。前者是顯解，後者是隱解。

精確地說，顯解直接把因變量寫成自變量的函數 y = f(x)，所以你能對任何 x 代入而讀出 y。隱解是一個解所滿足的關係式 F(x, y) = C，但其中 y 沒有（或無法）用初等方式解出來；曲線是由方程式定義，而非由一條輸出公式定義。例如 x^2 + y^2 = C 是 y' = -x/y 的隱解：對 x^2 + y^2 = C 關於 x 求導，得 2x + 2y y' = 0，重排後恰為 y' = -x/y，所以即使 y 沒有被孤立，這個關係仍成立。

隱解完全合法，而且極為常見——對許多方程，尤其是可分離方程與恰當方程，隱式關係正是答案自然採取的形式，硬要把它化成顯式可能不可能、或需要逐情況選擇正負號或分支。所以實用的態度是：隱解就是一個完整的答案。你用同樣的方式驗證它——隱微分——只在你真的需要顯式數值時才解出 y，並接受你可能得挑出曲線正確的那個分支。