向量加法與純量乘法（vector addition and scalar multiplication）

若你往東走三條街、再往北走四條街，相對於起點你最後在哪裡？把兩個位移向量相加正好回答這個問題。向量加法把兩段行程合併成淨效果相同的那一段直線行程。純量乘法做的是另一件事：它把單一向量拉長、縮短或反向——「同方向走兩倍遠」，或「同樣距離但倒退」。

幾何上，要把 u 與 v 相加，把 v 平移到讓它的尾接在 u 的頭上；從 u 的尾指到 v 的頭的那支箭就是和 u + v。這是三角形法則（首尾相接）。等價地有平行四邊形法則：從同一點畫出 u 與 v，補成平行四邊形，對角線就是 u + v。以分量計算，加法極為簡單——把對應項相加即可：(a_1, b_1, c_1) + (a_2, b_2, c_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2, c_1 + c_2)。用數 t 作純量乘法則把每個分量都乘上：t(a, b, c) = (ta, tb, tc)。若 t > 1 箭變長，若 0 < t < 1 變短，若 t < 0 則反向，長度按 |t| 縮放，因為 |t v| = |t| |v|。減法是加上相反向量：u - v = u + (-1)v。

這兩種運算就是整個基礎：每個向量 v = a i + b j + c k 都是把基底向量縮放後相加而成。它們遵守你期待的友善規則——加法可交換（u + v = v + u）、可結合，純量乘法對加法有分配律。一個常見陷阱：|u + v| 一般並不等於 |u| + |v|。兩支朝不同方向拉的箭會部分抵消，故合向量通常比兩長度之和還短；只有當 u 與 v 完全同向時才取等號。這正是穿著向量外衣的三角不等式。