特里科米方程（Tricomi equation）
/ tree-KOH-mee /
大多數教科書方程在其定義域內從一角到另一角都維持單一型別。但有些就是不肯安定——它們在一個區域是橢圓型、在另一個區域是雙曲型，中間有一條型別改變的界線。特里科米方程是這些混合型方程中最簡單也最著名的一個，是研究偏微分方程橫越某曲線時改變性格的最乾淨的實驗室。
特里科米方程是 y u_xx + u_yy = 0。它的主係數為 A = y、C = 1、B = 0，所以判別式是 B^2 - AC = -y。判別式的正負號，從而型別，取決於你在哪裡：當 y > 0 時 B^2 - AC = -y < 0，方程為橢圓型；當 y < 0 時 B^2 - AC = -y > 0，為雙曲型；而在線 y = 0 上判別式為零，方程在那裡為拋物型（退化）。線 y = 0 是型別改變線。在雙曲那一半，特徵是曲線 3x 加減 2(-y)^(3/2) = 常數，它們從拋物線豎直地冒出再彎開——生動地呈現了特徵恰好在型別改變之處誕生。
為何這個古怪的對象要緊：它是穿音速流動的模型，其中流體由次音速（平滑、橢圓型）過渡到超音速（帶波、雙曲型），型別改變線標記著音速的轉換。弗朗切斯科·特里科米於 1923 年引入它，開啟了整套混合型方程的理論。誠實的困難在於：沒有單一個配方能同時處理兩半——特里科米問題的適定邊界條件必須沿著正確的弧仔細地提出（橢圓那一側的邊界值問題，縫接到雙曲那一側特徵上的資料），而在退化線附近的分析確實微妙。它是個標準的提醒：型別是局部的、逐點的性質，而非全域的標籤。
在特里科米方程 y u_xx + u_yy = 0 中沿著 y 軸行走。在高處（y = 2）你解的是一個像拉普拉斯的橢圓型方程；在低處（y = -2）你解的是一個像波動方程、帶實特徵的雙曲型方程；而橫越 y = 0 時你穿過拋物型的過渡。一個方程、三種行為，只取決於你的高度。
特里科米方程橫越線 y = 0 改變型別——上方橢圓、下方雙曲——是穿音速流動的模型。
特里科米是「型別是局部的」這件事的招牌例子：在變係數下，一個方程可以在某區域是橢圓型、在另一區域是雙曲型，所以像「橢圓型方程」這樣單一的全域標籤，只在判別式維持固定正負號之處才適用。