試解 y = x^r（trial solution y = x^r）

對常係數方程，幸運的猜測是 y = e^(rx)，因為指數在微分下會重現自己。對柯西－尤拉方程，正確的幸運猜測不同：y = x^r，一個樸素的冪。原因是一場完美的配對——方程的 x 次方被安排成恰好抵消對 x^r 微分所產生的 x 次方。

看這場抵消。若 y = x^r 則 y' = r x^(r-1)，y'' = r(r-1) x^(r-2)。在柯西－尤拉方程 a x^2 y'' + b x y' + c y 中，x^2 乘 y'' 給出 a r(r-1) x^r，x 乘 y' 給出 b r x^r，而 c y 是 c x^r。現在每一項都是一個數乘以同一個 x^r，所以把它提出來，留下指標方程 a r(r-1) + b r + c = 0——一個關於 r 的二次（一般為 n 次）方程，已無 x。解出 r。每個實根 r 給一個解 x^r；重根帶入對數（x^r 與 x^r ln x）；複根對 a +/- bi 給出 x^a cos(b ln x) 與 x^a sin(b ln x)。再選常數以配合條件。

試解 y = x^r 是特徵根法在柯西－尤拉方程上的對應物，而學會看出它何時適用——僅當係數次方與導數階數對齊時——是這項技能的一半。關於重根與複根的誠實提醒：它們並非只給更多的冪。一個二重根強迫出一個對數 x^r ln x，恰如二重指數根強迫出一個 x 因子；而複根產生的是對 ln x 的振盪，而非對 x。留意這些特殊情形，能讓你不至於寫下太少的獨立解。