代換 x = e^t（substitution x = e^t）
假設你寧可不去背柯西－尤拉方程那個特殊的 x^r 技巧。有一條更有啟發性的路：一個單一的變數代換，把變係數的柯西－尤拉方程轉化成一個樸素的常係數方程——你已經會解的那種。代換是 x = e^t，等價於 t = ln x。它把 x 軸作對數式拉伸，並藉此把礙事的 x 次方燙平。
機制如下。令 t = ln x，連鎖律給出 dy/dx = (1/x) dy/dt。推演下去，x 乘 d/dx 變成 d/dt，而 x^2 乘 d^2/dx^2 變成 d^2/dt^2 - d/dt。把這些代入 a x^2 y'' + b x y' + c y = 0，每個 x 都抵消，留下一個關於 t 的常係數方程：a (y_tt - y_t) + b y_t + c y = 0，即 a y_tt + (b - a) y_t + c y = 0，下標表示對 t 的導數。現在用普通的特徵方程求解，得到 y 作為 t 的函數，再代回 t = ln x。指數 e^(rt) 變成 e^(r ln x) = x^r——這正是 x^r 試解有效的原因，也是重根的 t e^(rt) 變成 (ln x) x^r 的原因。
這個代換值得知道，有兩個理由：它免去你為實根、重根、複根記憶各別規則的需要（你重用你已信賴的常係數規則），並把原本神祕的對數與 ln 振盪，解釋成在 x 中回看的、t 域裡的尋常現象。誠實的提醒是定義域：t = ln x 需要 x > 0，所以代換活在正半軸；對 x < 0 要用 t = ln|x| 或把兩側分開處理。一如既往，這只拯救柯西－尤拉形式，而非一般變係數。
用 x = e^t 轉換 x^2 y'' - x y' + y = 0。它變成 (y_tt - y_t) - y_t + y = y_tt - 2 y_t + y = 0，特徵方程 (r - 1)^2 = 0，二重根 r = 1。所以 y = (c1 + c2 t) e^t，回到 x 即 y = (c1 + c2 ln x) x。
x = e^t 把柯西－尤拉方程化為關於 t 的常係數方程。
記得交叉項：x^2 d^2/dx^2 變成 d^2/dt^2 - d/dt，而非只是 d^2/dt^2——丟掉 - d/dt 會破壞轉換後的係數。