傳輸方程（transport equation）
想像一條又長又細的河，河面上漂著一道染料。如果河水以穩定的速度向右流動，而染料既不擴散也不褪色，那麼一秒鐘後染料圖案的快照，會和現在的快照一模一樣——只是順流稍微往下游平移了一點。傳輸方程就是捕捉這件事最簡單的偏微分方程：某個量被水流帶著走，形狀不變，隨波逐流。
用符號表示，令 u(x,t) 為位置 x、時間 t 處的染料量。最簡單的形式是 u_t + c u_x = 0，其中 u_t 是 u 對時間的偏導數，u_x 是對位置的偏導數，c 是（常數）流速。這條方程說：在固定一點，u 隨時間變化的速率（u_t）恰好被速度 c 乘上 u 在空間中變化的陡峭程度（u_x）抵消。其解為 u(x,t) = f(x - c t)，其中 f 是任何由初始輪廓 u(x,0) = f(x) 給定的形狀：整張圖以速度 c 向右滑動而形狀不變。
它是整門學科的入門方程。幾乎所有使一階偏微分方程運作的概念——特徵線、行波、有限傳播速度、初始資料沿曲線被帶著走的方式——都能在這裡以最樸素的形式看見，在加入任何複雜性之前。它也描述真實的單向流動：被穩定風帶走的污染物、低密度道路上的車流、沿線傳遞的訊號。
取 c = 2、u(x,0) = e^(-x^2)，一個以 x = 0 為中心的隆起。其解為 u(x,t) = e^(-(x - 2t)^2)。在 t = 1 時隆起位於 x = 2；在 t = 3 時位於 x = 6。高度相同、寬度相同——只是移動了。
隆起以速度 2 隨流動前進，形狀凍結不變——這正是純傳輸的標誌。
u_t + c u_x = 0 不是二階波動方程 u_tt = c^2 u_xx；它是後者的一個因式，只把訊號往單一方向傳遞。加上右端項，如 u_t + c u_x = g，會讓該量在被帶走的同時增長或衰減。