線性一階偏微分方程（linear first-order PDE）
在一階方程中，最友善的是線性的那些——未知量 u 及其一階導數只以自身出現、各乘上一個不依賴於 u 的係數的方程。它們友善，是因為其特徵線可以在解未知之前就畫出來，也因為解可以相加：把兩個解組合起來，你會得到另一個解。
在兩個變數中，一般的線性一階偏微分方程為 a(x,y) u_x + b(x,y) u_y + d(x,y) u = e(x,y)。係數 a、b、d、e 只是位置的函數，絕不依賴於 u。其中含兩個重要的子情形。若 d 與 e 為零，你得到齊次的傳輸型方程 a u_x + b u_y = 0，u 沿特徵線為常數。若只允許 e 非零且方程無 u 項，a u_x + b u_y = c(x,y)、c 不依賴於 u，特徵線仍純由 a 與 b 決定——比半線性情形再簡單一級，後者右端可依賴於 u。由於特徵方向 dx = a ds、dy = b ds 不涉及 u，你可以先鋪好整張特徵線網，再沿著它們把資料帶走。
線性正是使疊加原理生效的原因：兩個解之和、或一個解的常數倍，都解同一條齊次方程，於是你能從簡單的積木搭出複雜的解。這是本學科溫和的一端——沒有震波，沒有純由方程結構引起的梯度爆破——也是在遇上非線性的驚奇之前，學習特徵線如何承載資料的恰當之處。
方程 y u_x - x u_y = 0 的特徵線為 dy/dx = -x/y，即 x^2 + y^2 = 常數——一族圓。所以 u 在每個圓上為常數：每個解都只是半徑的函數，u = F(x^2 + y^2)。單憑係數（與 u 無關）就決定了這個圓形幾何。
線性係數預先決定特徵線；此處它們是圓，所以解是徑向的。
名稱要小心：一條方程可以對導數線性、卻含 u 項——那仍是線性的。若右端對 u 非線性地依賴（但最高階導數仍線性），它是半線性而非線性；若 a、b 依賴於 u，它是擬線性；這些區別決定了是否可能出現震波。