週期函數的變換（transform of a periodic function）
許多真實的強迫訊號會重複：開開關關的方波、鋸齒波、電源整流後的輸出、任何週期脈衝列。把這類訊號的拉普拉斯變換用從 0 到無窮的積分去算看似艱鉅——但因為訊號會重複，你其實只需對「一個」週期積分，再用一條整齊的公式替你處理無限次的重複。
假設 f(t) 以週期 T 重複，即對所有 t 都有 f(t + T) = f(t)。從 0 到無窮的積分拆成對相繼週期的和，而每個後續週期不過是第一個的平移，依第二平移的想法各貢獻一個額外因子 e^(-sT)。把所得的幾何級數求和，得到週期函數公式：L{f(t)} = (1/(1 - e^(-sT))) 乘以 e^(-st) f(t) 對 t 從 0 到 T 的積分。用白話說：只變換第一個週期，再除以 (1 - e^(-sT)) 來計入所有副本。因子 1/(1 - e^(-sT)) 正是把每一次重複疊起來的和 1 + e^(-sT) + e^(-2sT) + ...。
這把一個令人卻步的無限積分，化成一個對單一週期的短、有限的積分，外加一次除法。這就是你把時脈訊號、開關電源輸入、重複的機械負載餵進拉普拉斯機器的方法。再配上階躍函數（用來描述單一週期內的形狀），它幾乎涵蓋了工程師遇到的每一種週期輸入。
對在 0 ≤ t < 1 為 1、1 ≤ t < 2 為 0、週期 T = 2 的方波，一個週期上的積分是 e^(-st) 對 t 從 0 到 1 的積分 = (1 - e^(-s))/s，故 L{f} = (1 - e^(-s))/(s(1 - e^(-2s)))。
變換一個週期，再除以 (1 - e^(-2s)) 來疊起無限的重複。
公式要求對所有 t ≥ 0 都真正週期、且每個週期形狀相同。若訊號只在某段啟動暫態後才重複，就拆開：暫態單獨變換，週期公式只用在穩定重複的尾段。