托波諾戈夫比較定理
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在彎曲曲面上畫一個以最短路徑為邊的三角形。在像球面這樣的正曲率曲面上三角形看起來「胖」——其內角和大於 180 度且向外鼓；在平坦平面上則是平常的直邊三角形。托波諾戈夫定理把這種比較弄得嚴格而整體：它把你流形上任何測地三角形的幾何，釘在常曲率模型中對應三角形之上，把曲率下界轉化為角度與點間距離的硬不等式。
確切地說：設完備流形 M 處處截面曲率 K >= k。取 M 中以 p、q、r 為頂點、邊長為 a、b、c 的測地三角形（諸邊為最短測地線）。在常曲率 k 的模型空間（k > 0 時為半徑 1/sqrt(k) 的球面、k = 0 時為平面、k < 0 時為雙曲空間）中建構具有相同三邊長的比較三角形。則 M 三角形的每個角至少和模型三角形的對應角一樣大。等價地（「鉸鏈」版本），若固定兩邊及其夾角，則 M 中的對邊不長於模型的對邊：曲率下界意味著三角形至少和模型一樣胖。其證明藉由沿諸邊逐弧的論證，把無窮小的勞赫估計整體化，並利用完備性保持最短測地線可用。
托波諾戈夫是比較幾何的整體三角形骨幹，也是球面定理與非負曲率空間結構理論背後的技術引擎。它相對於勞赫的一大優點是：它是關於有限尺寸三角形之實際距離與角度的陳述，而非無窮小的雅可比場，因此能在取極限時存活——這正是它推廣到曲率有下界的亞歷山德羅夫空間（度量幾何中研究的奇異空間版本）的原因。誠實的注意。其一，定理需要整個區域上的整體下界 K >= k，而非逐點估計，並需完備性以保證諸邊最短。其二，存在對偶的上界版本（邊比模型更瘦），但它需要額外的凸性／單射半徑假設，更接近 CAT(k) 的故事；勿假設胖與瘦的陳述對稱。
在單位球面（K = 1 >= 1，故模型＝球面）上考慮一個三頂點皆為直角的三角形——例如一頂點在北極、另兩頂點在赤道上相距四分之一圈。其內角和為 270 度，比任何平坦三角形的 180 度更胖，正如托波諾戈夫對 K >= 0 所預測（與 k = 0 相比）：非負曲率空間上三角形的每個角，都至少和具有相同邊長的平坦三角形之角一樣大。具體地，就鉸鏈形式而言：固定兩條成直角相交的單位長邊；球面上第三邊比它在平面上會有的 sqrt(2) 更短，因為正曲率把遠端拉近。
曲率下界＝胖三角形：球面上的直角鉸鏈比平面上閉合得更緊。
托波諾戈夫是整體陳述，要求整個區域處處 K >= k；它並非逐點事實。它在格羅莫夫-豪斯多夫極限下的存活使亞歷山德羅夫幾何成為可能——但該奇異空間理論屬於度量幾何，不在此處。