亞歷山德羅夫空間（Alexandrov space）
/ al-ek-SAHN-drof /
想想凸體的表面——球面、圓錐、立方體的邊界。這類曲面以一種穩健的方式「正彎曲」：畫在上面的三角形比平坦三角形更胖，而角點或稜脊只會讓它們更胖，絕不更瘦。亞歷山德羅夫空間正是把這個直覺打包成純度量的定義。它是曲率下有界於某數 kappa 的長度空間，完全透過三角形與模型三角形的比較來刻畫，不需任何光滑性。
定義使用比較三角形。固定 kappa。完備長度空間 X 的曲率下有界於 kappa，是指對 X 中每個小測地三角形，該三角形至少和它在模型空間 M_kappa 中的比較三角形一樣胖：對邊上任意兩點 x, y，都有 d(x, y) >= |x' - y'|，其中 x', y' 是比較三角形中的對應點。等價地，真實三角形每個頂點的角至少和對應模型角一樣大（即所謂的托波諾戈夫性質）。亞歷山德羅夫空間（曲率下有界）就是這樣的空間；通常還要求它局部緊且測地。圓錐、凸曲面、流形對等距群作用的商，以及關鍵的、具一致下截面曲率界之流形的格羅莫夫-豪斯多夫極限，都合格。
亞歷山德羅夫空間是比較幾何中極限的自然歸宿：截面曲率 >= kappa 的黎曼流形類並不封閉，但它的格羅莫夫-豪斯多夫閉包恰好落在曲率 >= kappa 的亞歷山德羅夫空間之中，這正是它們在你取極限或坍縮時總會出現的原因。對於用不等式定義的對象，它們有出奇豐富的結構——良定義的豪斯多夫維數（一個整數）、每點的切錐、角的概念，以及稠密的光滑流形部分——卻仍可有真正的奇異點如錐點。一點警告：「曲率下有界」（亞歷山德羅夫）與「曲率上有界」（CAT(kappa)）是不等式相反、奇異行為迥異的兩個世界，切勿混淆。一個空間同時滿足兩者只發生在特殊的、本質上近乎平坦的情形。
把角度小於 2pi 的平面扇形捲起得到的平坦圓錐，是曲率下有界於 0 的亞歷山德羅夫空間。在錐尖之外它局部平坦，但錐點處的總角不足（小於 2pi），這使包圍錐尖的三角形嚴格比歐氏三角形更胖——正曲率集中在單一奇異點。相對地，黏入角度大於 2pi 的扇形給出帶角盈的鞍狀錐，它不是曲率 >= 0 的亞歷山德羅夫空間，因為這類三角形比平坦更瘦。
平坦圓錐：局部平坦，但錐尖的角虧使曲率下有界於 0。
曲率下有界不代表光滑：亞歷山德羅夫空間可有錐點、稜與低維層。它的豪斯多夫維數是整數，但奇異集一般非空且可能很微妙。