CAT(k) 空間（CAT(k) space）
/ kat-kappa /
取與凸球面相反的直覺：想像一個馬鞍，或一個樹狀分支網路的內部，那裡的三角形又瘦又長，比平坦空間更快地散開。CAT(k) 空間刻畫的是至多和常曲率 k 的模型一樣彎的空間——「曲率上有界」。這個縮寫向卡坦、亞歷山德羅夫與托波諾戈夫三人致敬，他們的名字都與比較思想相連。它是適用於任何測地度量空間（無論光滑與否）的上曲率界的唯一乾淨定義。
固定模型曲率 k 與模型曲面 M_k。測地度量空間 X 是 CAT(k)，若 X 中每個測地三角形（k > 0 時周長小於 2pi/sqrt(k)）都至少和它在 M_k 中的比較三角形一樣瘦。精確地說：對頂點為 p, q, r 的三角形，及其邊上任意兩點 x, y，有 d(x, y) <= |x' - y'|，其中 x', y' 是 M_k 中對應的比較點。所以真實三角形絕不會鼓出超過平坦（或球面、或雙曲）模型——橫越三角形的距離不大於模型中的。等價地，每個頂角都不大於其比較角。一個小而關鍵的推論已內建於 CAT(k) 之中：在 CAT(k) 空間（k > 0 時帶周長限制）中，兩點間的測地線唯一，且隨端點連續變化。
上曲率界馴服了空間：CAT(k) 空間局部可縮、有唯一的局部測地線，並繼承了非正或有界曲率流形的許多剛性。它們是由片塊拼接構造對象的度量骨幹——CAT(k) 是局部條件，可透過格羅莫夫的連結條件（每個頂點的連結本身須有曲率界）在由平坦或球面胞元黏成的複形上檢驗。關於模型參數的關鍵告誡：CAT(k) 空間對每個 k' >= k 自動是 CAT(k')（更小的上界是更強的陳述），而 CAT(0) 是最重要的特例，但當你要局部像球面的空間時，CAT(1) 與正 k 的 CAT(k) 是必要的。不要把 CAT(k)（上界、瘦三角形）與曲率 >= k 的亞歷山德羅夫（下界、胖三角形）混為一談。
度量樹——無迴路的連通圖，每條邊是一個實區間，距離沿點間唯一路徑測量——對每個 k 都是 CAT(k)，特別地是 CAT(0)。任何「三角形」都退化：兩點間的測地線經過它們最近的公共分支點，於是三角形的三邊重疊成一個無面積的三腳架。這種退化三角形比任何比較三角形都瘦，這正是樹是非正（實則任意負）曲率極端情形的原因。
度量樹是 CAT(0)：三角形坍縮成三腳架，比任何平坦比較三角形都瘦。
CAT(k) 唯有審慎後才在精確意義上是局部的：完備 CAT(0) 空間整體即是（度量版卡坦-阿達瑪），但對 k > 0，「局部 CAT(k)」若無測地線長度的界便不能升級為整體。務必說明是哪個 k，以及陳述是局部還是整體。