湯姆空間（Thom space）
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給定 X 上的向量叢 E，其全空間是非緊的：每根纖維都是延伸到無窮的 R^n。湯姆空間是把這些無窮收拾乾淨的方法，它把所有的無窮坍縮成單一點，造出一個緊的有基點空間，把叢的扭轉打包成貨真價實的同倫資料。它是叢沿纖維的自然「單點緊化」，也是從叢通往穩定同倫的橋樑。
具體地說，在 E 上配一個度量，取單位圓盤叢 D(E)（長度至多 1 的向量）與單位球面叢 S(E)（長度恰為 1 的向量）。湯姆空間是商 Th(E) = D(E) / S(E)：把每根纖維的邊界球面壓成一個共同的基點。等價地它是全空間 E 的單點緊化。當 X 是一點時，E 就是 R^n，而 Th(E) 是 n 維球面 S^n；對一般秩 n 叢，Th(E) 看起來像 X 的「扭轉懸垂」，是一整族球面共享無窮遠那一點的 S^n 叢。
湯姆空間是若干構造的核心：湯姆同構把 X 的上同調與 Th(E) 平移了秩之後的上同調聯繫起來，湯姆類住在 Th(E) 的上同調中，而配邊理論由萬有叢的湯姆空間建立（湯姆譜 MO, MU）。它們也給出通往歐拉類與龐特里亞金-湯姆坍縮的最乾淨路徑，後者把子流形轉換成映入湯姆空間的映射。要尊重的微妙處：湯姆空間依賴於叢，而不只依賴 X——同一底空間上不同的叢給出確實不同的湯姆空間，這正是用它們偵測扭轉的全部用意。
對平凡秩 n 叢 X times R^n，湯姆空間是 X（添一個分離基點）的 n 重懸垂：Th(平凡) = Sigma^n (X_+)。特別地，在一點上平凡的 R^n 給出 Th = S^n，而在 X 上平凡的線叢給出 X 的（非約化）懸垂。把叢扭轉會把這懸垂變成一個非乘積的「扭轉」版本。
平凡叢給出普通懸垂；非平凡叢中的扭轉把懸垂變形成新的東西。
湯姆空間依賴於實際的叢，而不只是底空間、甚至不只是叢的秩——這份依賴正是其威力之源。把 Th(E) 當作只記得 X（或只記得秩）就丟棄了它本要記錄的扭轉資訊。