湯姆同構（Thom isomorphism）
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一旦你建好了向量叢的湯姆空間，你會想用你大概理解的底空間來計算它的上同調。湯姆同構正是做這件事：它說湯姆空間的上同調是底空間上同調的完美副本，只是按叢的秩往上平移。加上一個秩 n 叢，在上同調上的行為就像乘以一個 n 維球面。
精確地說，設 E 是 X 上一個可定向（或對 Z/2 係數則任意）的秩 n 實向量叢。則存在一個特出的湯姆類 u in H^n(Th(E))（等價地在偶 (E, E 去掉零截面) 的 H^n 中），它在每根纖維球面上限制為生成元。湯姆同構是映射 H^k(X) -> H^{k+n}(Th(E))，把類 a 送到 (a 的拉回) 與 u 的杯積——與湯姆類作杯積——而定理說這對每個 k 都是同構。所以湯姆類 u 是萬有的 n 維生成元，與它作杯積把整個 H^*(X) 往上搬 n 個次數。對不可定向叢，同樣的結論在 Z/2 係數下成立。
這是若干重大結果背後的主力。E 的歐拉類由把湯姆類限制到零截面得到：e(E) = (零截面)^* u，這正是歐拉類為非零截面之首要障礙的原因。蓋辛序列、把湯姆類定義為相對定向、以及配邊理論中的龐特里亞金-湯姆構造，全都依賴於它。要記住的誠實前提：整係數湯姆同構需要叢的一個定向（纖維定向的一致選取，即 w_1(E) = 0）；沒有定向你就得在模 2 下工作，此時 w_n 成為相關的類，而乾淨的整係數陳述便不可得。
取點上的平凡秩 n 叢 E = R^n。它的湯姆空間是 S^n，湯姆同構讀為 H^k(point) = H^{k+n}(S^n)：H^0(point) = Z 中那唯一的類映到 H^n(S^n) = Z 中的基本類，那正是湯姆類。與它作杯積不過是改裝過的懸垂同構。
在一點上，湯姆同構就是懸垂同構，湯姆類即球面的基本類。
整係數湯姆同構要求叢可定向（w_1 = 0）；對不可定向叢必須用 Z/2 係數。歐拉類是湯姆類在零截面上的限制——這是精確的聯繫，而非模糊的類比。