杯積（cup product）

不同次數的同調群並排而立，卻無從把兩個類相乘。上同調更豐富：它帶有一個乘法，即杯積，把次數 p 的類與次數 q 的類組合成次數 p + q 的類。這把分次的上同調群集合變成一個環，而那個環能區分普通同調群無法分辨的空間。

在上鏈上，杯積由前面/後面的配方定義：給定次數 p 的 alpha 與次數 q 的 beta，上鏈 alpha cup beta 在一個 (p+q) 單純形 sigma 上的值，是 alpha 作用於 sigma 的前 p 面乘以 beta 作用於 sigma 的後 q 面，(alpha cup beta)(sigma) = alpha(sigma 限於 [v_0, ..., v_p]) 乘以 beta(sigma 限於 [v_p, ..., v_{p+q}])。可驗證它與上邊界相容（一條萊布尼茲律），故下降為上同調類上定義良好的乘積 H^p(X; R) cross H^q(X; R) -> H^{p+q}(X; R)。結果是結合的且分次交換的：alpha cup beta = (-1)^{pq} beta cup alpha，故奇次數的類反交換。

為何重要：上同調環是嚴格地比上同調群更細的不變量。兩個空間可以在每個次數都有同構的上同調群，環卻不同構，而杯積正是區分它們之物。經典例子是環面 T^2 對楔 S^2 wedge S^1 wedge S^1：兩者有相同的貝蒂數，但在環面中兩個 1 次生成元之積是 H^2 的非零生成元，而在楔中該積為零——環看見了兩個圓的「連結」，這是群本身錯過的。

一個誠實的提醒：杯積是自然的（映射 f 在上同調上誘導環同態 f^*），而分次交換性帶著那些易被遺漏的符號。在上鏈層次杯積結合但不交換；交換性只在過渡到上同調後出現，且即便如此也是分次交換，而非嚴格交換。同調一般沒有類比的內部乘積——乘法確實住在上同調這一側。