應變張量（strain tensor）

應變張量（strain tensor）量度材料在局部被拉伸與剪切了多少——這是形變的幾何，已剝除任何剛體運動。在一張橡皮膜上畫一個細小的方格網再拉扯：有些方格伸長，有些剪成平行四邊形。應變張量就是每一點處這種扭曲的局部配方，告訴你沿各方向的長度變化比例，以及各方向之間夾角的變化。

它由位移場 u(x) 構成，即每個材料點移動的向量。在小形變（線性）理論中，應變張量是位移梯度的對稱部分：epsilon_ij = (1/2)(partial u_i / partial x_j + partial u_j / partial x_i)。對角分量 epsilon_xx、epsilon_yy、epsilon_zz 是正向應變——沿各軸的伸長比例——而非對角分量是剪應變，量度原本互相垂直的線的傾斜。同一梯度的反對稱部分是局部剛體轉動，不帶任何形變，這正是為什麼應變只取對稱部分。應變是無因次的，且其跡 epsilon_kk 等於體積的變化比例（膨脹 dilatation）。

應變張量是彈性學的輸入：透過虎克定律把它與應力張量配對，你就能預測任何固體如何彎曲、伸展與振動。它出現在橋樑與飛機設計、地震學，以及任何材料發生形變之處。上面的線性形式只在位移梯度很小時成立；對大形變（橡膠、生物組織），你需要保留二次項的完整有限應變（Green-Lagrange）張量。