剛性方程（stiff equation）

想像一個過程同時帶有閃電般的快速瞬變與緩慢溫和的漂移——像把一根燒熱的針丟進溫暖的房間，針的溫度瞬間崩降到室溫，然後兩者再花上幾分鐘趨向平衡。在快的部分早已消逝後，你只在乎慢的部分——但顯式求解器仍對如今無關緊要的快速模態心存恐懼，拒絕走一個合理大小的步。這個令人抓狂的情況，就是「剛性」方程。

剛性源於系統具有相距極遠的時間尺度：雅可比矩陣（f 的線性化）的特徵值 lambda 大小差異極大，有些實部為大負數（快速衰減）、有些很小（緩慢演化）。快模態幾乎瞬間衰減，對答案不再重要——但它們仍掌控「穩定性」。顯式方法必須讓 h*lambda 對「每個」lambda 都落在它小小的穩定區域內，包括那個巨大的快模態，所以即使該模態已消失，它仍被迫走大小為 1/|lambda_fast| 的步，而準確度本來樂於允許大上一千倍的步。工作量由你不再在乎的模態的穩定性決定，而非由你在乎的模態的準確度決定。

解法是用一個穩定區域覆蓋整個左半平面的方法：像後向歐拉法這樣的「隱式」方法，或實務上的 BDF 家族。它們是 A-穩定（或近乎如此），所以快模態從不威脅穩定性，你可以走只由慢動力學準確度所決定的大步。誠實的要點是：剛性是「問題加上準確度需求」共同的性質，而非清楚的是非（當顯式方法被迫走遠小於準確度所需的步時，問題才算「剛性」）；自動偵測它本身並不簡單（好的求解器會在顯式與隱式模式間切換）；而剛性求解器為每個隱式步付出一個非線性求解的代價，所以每步較慢，但靠走遠少的步而整體取勝。讓模擬爬行的，通常是剛性，而非單純的規模大。