絕對穩定區域（region of absolute stability）

當一個方程的真解正安靜地「衰減」時，你會期望數值解也衰減，而不是爆掉。會不會爆，取決於步長：步長太大會讓一個穩定的方法產出越長越大的垃圾。絕對穩定區域就是那張地圖，對某個方法精確告訴你哪些步長能讓數值解保持有界——它是方法的安全運轉區。

我們用同一把簡單的尺檢驗每個方法，那就是線性測試方程 y' = lambda*y，其真解 e^(lambda*t) 在 lambda 的實部為負時衰減。對它套用步長為 h 的方法，會產出 y_{n+1} = R(z)*y_n，其中 z = lambda*h，而 R 是方法的「穩定函數」（顯式方法為多項式，隱式方法為有理函數）。數值解保持有界，恰好當 |R(z)| <= 1。使 |R(z)| <= 1 的複數值 z = lambda*h 所成的集合，就是絕對穩定區域，畫在複數平面上。對前向歐拉法 R(z) = 1 + z，所以區域是圓盤 |1 + z| <= 1，即以 -1 為心、半徑 1 的圓——意指對實的負 lambda 你必須保持 h <= 2/|lambda|，否則爆掉。對後向歐拉法 R(z) = 1/(1 - z)，其區域是「整個」左半平面還更多。

這張圖是理解穩定性最有用的單一工具。用法是：找出你問題的快速衰減模態（雅可比矩陣中實部為大負數的特徵值 lambda），你必須選 h 使每個 lambda*h 都落進區域內。誠實之處在於：顯式方法的穩定區域「小」且有界，所以大的負 lambda（剛性模態）逼得 h 極小——這正是剛性的機制。隱式方法可以有「巨大」的區域，覆蓋整個左半平面（A-穩定），讓它們走大步。絕對穩定講的是「不爆掉」；它與準確度是兩回事——一步可以穩定卻不準。