Stieltjes 變換／預解式法（Stieltjes-transform / resolvent method）
/ Stieltjes = STEEL-tyes /
Stieltjes 變換法是組合學動差法的解析對應物，也是幾乎所有現代隨機矩陣結果——局部律、普適性、邊緣行為——背後的引擎。其思想是不透過動差而透過編碼一個測度的單一複解析函數來研究它，此即 Stieltjes 變換，並為該函數的確定性極限導出一個自洽方程。動差法計數走道之處，此法追蹤一個預解式。
對 R 上的機率測度 mu，其 Stieltjes 變換是函數 m(z) = integral of 1/(x - z) dmu(x)，定義於上半平面（在那裡積分有限且 m 解析）。此變換唯一地決定 mu，且測度由反演公式恢復：密度是邊界值 rho(x) = (1/pi) Im m(x + i0)。對 Hermite 矩陣 H_N，相關對象是預解式（又稱格林函數）G(z) = (H_N - z I)^(-1)；其歸一化跡恰恰是經驗譜分布的 Stieltjes 變換：m_N(z) = (1/N) trace G(z) = (1/N) sum over i of 1/(lambda_i - z)。策略於是是：證明 m_N(z) 集中於一個確定性的 m(z)，並找出 m 須滿足的方程。對 Wigner 矩陣，著名的自洽方程是 m(z) = 1/(-z - m(z))，一個二次式，其解 m(z) = (-z + sqrt(z^2 - 4))/2 正是半圓的 Stieltjes 變換。反演即恢復半圓密度。此自洽方程來自 Schur 補／留一論證：刪去一列一行以可控的方式改變預解式，取平均即給出此不動點關係。
此法之所以占主導：預解式以動差無法做到的方式進行局部化。透過取 z = E + i eta，其虛部 eta 小至 1/N（差一對數），人們得到控制特徵值密度於數個特徵值間距尺度上的局部律，而非僅宏觀體相。這些局部律是通往普適性的現代途徑（四動差定理與 Erdos-Schlein-Yau 方法皆依賴預解式控制），且同一套機制能處理樣本共變異數矩陣（在一種慣例下的馬爾欽科-帕斯圖爾方程 z m^2 + (z + 1 - y) m + 1 = 0）與邊緣。一個注意事項：此法需謹慎處理虛部 eta。確定性方程僅對高於局部尺度的 eta 以高機率成立；把 eta 推到典型特徵值間距之下，正是分析最困難之處，也是個別特徵值波動所在。Stieltjes 變換也正是其反函數定義自由機率 R 變換的 Cauchy 變換——兩種觀點深刻相連。
用不動點導出半圓。Schur 補論證表明對角預解式元素各滿足 G_{ii}(z) 約等於 1/(-z - m_N(z))，故對 i 取平均得 m_N(z) 約等於 1/(-z - m_N(z))。取極限得到精確方程 m(z) = 1/(-z - m(z))。解二次式 m^2 + z m + 1 = 0 並取虛部為正的根得 m(z) = (-z + sqrt(z^2 - 4))/2；其邊界虛部（差常數）為 (1/2) sqrt(4 - x^2)/pi——即半圓密度。
預解式跡的自洽方程確定了極限密度。
自洽（確定性）方程僅對譜參數 z = E + i eta 且 eta 高於局部特徵值尺度時以高機率成立；在其下預解式會波動，分析確實精細——那個區域正是邊緣與間距統計所在。