R 變換與 S 變換（R- and S-transforms）
R 變換與 S 變換之於自由機率，正如特徵函數的對數之於古典機率：它們是使卷積線性化的變換。直接從定義計算兩個譜的自由加法卷積是無望的；Voiculescu 理論的天才在於存在一個配方——轉到一個變換、相加（或相乘）、反演——使自由卷積像加累積量那樣機械化。R 變換線性化自由加法；S 變換線性化自由乘法。
從測度 mu 的 Stieltjes（Cauchy）變換 G(z) = integral of 1/(z - x) dmu(x) 出發（注意符號慣例；這是標準的自由機率慣例）。其函數反函數是 K 函數：K(G(z)) = z。R 變換定義為 R(w) = K(w) - 1/w，即 R(w) = G^{-1}(w) - 1/w。其定義性的奇蹟是可加性：若 mu 與 nu 自由，則 R_{mu box-plus nu}(w) = R_mu(w) + R_nu(w)。故要相加兩個自由譜，你計算各自的 R 變換、把它們當函數相加，再經由 K 與 G 反演回去恢復卷積後的測度。R 變換的冪級數係數是自由累積量，古典累積量的自由對應；自由性即混合自由累積量消失的陳述，恰如獨立性即混合古典累積量消失。對乘法則有 S 變換：從動差母級數 psi(z) = sum of tau(a^k) z^k 出發，取其反函數 chi 並設 S(z) = (1 + z)/z times chi(z)；其定義性質是可乘性，對自由的 mu、nu（在溫和的正性假設下）有 S_{mu box-times nu} = S_mu times S_nu。
這些變換使自由機率可計算。要求自由矩陣之和的譜：R 變換相加。要求乘積（或 A^{1/2} B A^{1/2}）的譜：S 變換相乘。半圓有最簡單的 R 變換 R(w) = w（這就是為何自由半圓之和為半圓且變異數相加——自由 CLT 一行搞定），而馬爾欽科-帕斯圖爾律與自由卜瓦松律有乾淨的 S 變換，這正是有結構共變異數的變形 MP 律的導出方式。一個注意事項：這些變換的可加性與可乘性僅在自由性下成立，且僅作為在變換定義之處有效的形式／解析恆等式（Cauchy 變換活在支撐之外，反演它在譜邊緣附近需謹慎）。R 變換線性化自由卷積而非古典卷積；把它用於真正獨立的可交換變數會給出錯誤分布。而 S 變換的標準形式需要測度有非零均值（正支撐），因為要除以第一動差。
半圓律的 R 變換為 R(w) = w——最簡單的非平凡例子。因此相加 n 個（縮放後）半圓的自由副本給出 R 變換為 n 乘以 w/sqrt(n)^...；具體地，把 n 個自由同分布中心化元素之和以 1/sqrt(n) 歸一化，使 R 變換相加為（在極限中）刻畫半圓的線性函數。那一行——R 變換相加、半圓的是線性——就是自由中央極限定理的整個證明。
R 變換在自由卷積下相加；半圓的是線性，一步給出自由 CLT。
R 變換線性化的是自由卷積而非古典；切勿把它用於普通獨立變數。S 變換的標準定義要除以第一動差，故需要均值非零（正支撐）的測度才適定。