馬爾欽科-帕斯圖爾律（Marchenko-Pastur law）

馬爾欽科-帕斯圖爾律是半圓律在樣本共變異數矩陣上的姊妹：它是當真實共變異數為單位矩陣時，高維樣本共變異數矩陣特徵值的普適極限密度。它回答了困擾每一位高維統計學家的實際問題：若我從純各向同性雜訊的資料估計共變異數，我的估計之特徵值譜會長成什麼樣子，雜訊在何處結束、訊號又在何處開始？

設 S = (1/n) X X^* 為由 p×n 矩陣 X（元素均值 0、變異數 1 的獨立同分布）構成的 p×p 樣本共變異數矩陣，並令 p 與 n 皆增長且長寬比 y = p/n 收斂到 (0, 無窮) 中的常數。則 S 的經驗譜分布收斂到馬爾欽科-帕斯圖爾律。對 y <= 1，它是區間 [a, b] 上的絕對連續密度 rho(x) = (1/(2 pi y x)) sqrt((b - x)(x - a))，其中邊緣為 a = (1 - sqrt(y))^2 與 b = (1 + sqrt(y))^2。對 y > 1（變數多於樣本，故 S 奇異），矩陣有 p - n 個精確的零特徵值，在 0 處貢獻質量 1 - 1/y 的原子，外加同樣在 [a, b] 上的連續密度。邊緣 a 與 b 是譜支撐：當 y = 1 時它們是 0 與 4，當 y 很小時它們向 1 收緊（恢復古典的 S -> 單位矩陣）。MP 律的 Stieltjes 變換滿足一個二次自洽方程，是半圓的共變異數對應。

馬爾欽科-帕斯圖爾律是高維統計的主力。它是虛無模型：若你的資料真的是無結構的雜訊，你的樣本共變異數特徵值會充滿 [a, b] 而不多，所以任何落在上邊緣 b 之上的特徵值是真實訊號（一個真實的變異方向）的統計證據，而非抽樣假象——這正是尖峰模型與 BBP 轉變背後的邏輯，也是金融中清理經驗共變異數矩陣的邏輯。一個注意事項：乾淨的 MP 律假設母體共變異數為單位矩陣（各向同性雜訊）且元素變異數有限。一般的母體共變異數 Sigma 會產生一個變形的律——MP 與 Sigma 譜的自由乘法卷積——而重尾元素會徹底破壞此律。且上邊緣 b 是體相邊緣；最大特徵值在 b 附近的波動又是 Tracy-Widom，於 n^(-2/3) 尺度上。