史蒂弗-惠特尼類（Stiefel-Whitney class）
/ SHTEE-ful HWIT-nee /
取一個實向量叢 E，問最基本的全域問題：你能把它「梳平」嗎（找到處處非零的截面）？它可定向嗎？它帶有自旋結構嗎？史蒂弗-惠特尼類是一列模 2 上同調類 w_i(E) in H^i(X; Z/2)，i = 0, 1, 2, ...，恰好回答這類是非障礙問題，而由於我們在模 2 下工作，唯一可用的算術是偶與奇之分。
它們透過分類空間乾淨地定義：H^*(BO(n); Z/2) 是多項式環 Z/2[w_1, ..., w_n]，而叢 E 的史蒂弗-惠特尼類就是沿分類映射 X -> BO(n) 把這些生成元拉回。全類 w(E) = 1 + w_1 + w_2 + ... 對直和具乘法性，w(E + E') = w(E) w(E')（惠特尼求和公式），並可用分裂原理計算。低次的兩個類有清晰意義：w_1(E) in H^1(X; Z/2) 為零當且僅當 E 可定向；對可定向的 E，w_2(E) in H^2(X; Z/2) 是自旋結構的障礙。
它們的威力在於可計算、在任何底空間上有定義（只需模 2 上同調，不要求定向或複結構），且能偵測真實現象——某些浸入與嵌入的不存在、球面的可平行化、流形不為邊界。誠實的局限：它們是模 2 不變量，因此對任何更細的整係數資訊視而不見，且對非平凡叢也可能為零。流形切叢的史蒂弗-惠特尼類是該流形的微分同胚不變量（史蒂弗-惠特尼數），但兩個有相同 w_i 的叢仍可能不同構。
對實射影平面 RP^2 的切叢，全史蒂弗-惠特尼類為 w(T RP^2) = (1 + a)^3 = 1 + a + a^2，其中 a 是 H^1(RP^2; Z/2) 的生成元。由於 w_1 = a 非零，RP^2 不可定向；由於 w_2 = a^2 非零，RP^2 不是某三維流形的邊界。兩個事實都直接從模 2 算術掉出來。
w_1 偵測不可定向性，w_2 偵測 RP^2 不是邊界——兩者皆由模 2 讀出。
史蒂弗-惠特尼類住在模 2 上同調，只攜帶 2 撓層級的資訊；凡是整係數或有理不變量看得到的，它們都看不到。相同的史蒂弗-惠特尼類並不蘊含叢同構。它們是障礙，而非完全不變量。