二階線性方程:非齊次

穩態響應(steady-state response)

在一個穩定的受驅系統開啟後等夠久,起動的擺動就消失,留下一個乾淨、持久、只是跟隨輸入的模式。喇叭被餵入穩定音調,最終以那個音調振動;受驅電路落入以驅動頻率輸出的狀態。那個持久、跟隨輸入的部分,就是穩態響應。

在數學上,穩態就是受迫方程 y'' + p y' + q y = g(x) 的特解 y_p——具體說是暫態 y_c 衰減為零之後留下的那部分。對正弦外力 g = F cos(wt),穩態本身是一個「相同」頻率 w 的正弦,但一般有不同的振幅與相移:y_ss = R cos(wt - phi)。振幅 R 與相位落後 phi 取決於驅動頻率與系統參數,這正是頻率響應分析所萃取的資訊。

穩態之所以重要,是因為它正是你長期觀察到的、也是多數工程設計所瞄準的:最終的輸出水準、相位落後、響應是大(接近共振)還是小。一點誠實之處:真正的穩態要求暫態確實衰減,也就是穩定(通常是有阻尼)的系統。在無阻尼且共振外力下,根本沒有穩態——響應無界增長——所以「穩態」這個概念存在於系統會安定下來的地方。

對 y'' + 2y' + 2y = 10 cos(t),穩態為 y_ss = 2 cos(t) + 4 sin(t) = 2√5 cos(t - phi),其中 phi = arctan(2):與外力相同的頻率,但振幅與相位皆改變。無論初始條件如何,解隨 t 增大都會趨近於此。

穩態是持久的特解響應,跟隨著外力。

穩態不代表「常數」——在正弦驅動下穩態會永遠持續振盪;它指的是暫態消失後、不再依賴初始條件的那部分。

又称
steady statey_p as steady stateforced response穩態穩定態響應