頻率響應曲線(frequency-response curve)
以緩慢的節奏驅動系統,它幾乎不動;把節奏加快趨近它偏好的速率,它便以巨大的擺幅回應;再推快些,它就跟不上了,擺幅又縮小。把穩態響應的大小對驅動頻率作圖,便得到一條中間隆起的曲線。那條隆起形的圖就是頻率響應曲線——系統對每個可能驅動頻率如何反應的指紋。
m x'' + c x' + k x = F_0 cos(omega t) 的穩態振幅算出來是 R(omega) = F_0 / sqrt((k - m omega^2)^2 + (c omega)^2)。把它讀成驅動頻率 omega 的函數:當 omega 很小,R 從 F_0/k 附近開始(靜態撓度);當 omega 趨近自然頻率,(k - m omega^2) 那項幾乎消失,R 衝上峰值;當 omega 很大,分母增長,R 又落回趨向零。在振幅旁還有一條相伴的相位滯後曲線,即響應落後力的角度 phi,隨 omega 通過峰值而從近 0 掃到近 180 度。
這條曲線讓工程師一眼看清系統的整個性格:哪裡敏感、哪裡無感、共振有多尖銳。輕阻尼系統有又高又窄的尖峰(強烈偏好某一頻率——對調收音機是好事,對橋樑卻危險);重阻尼把曲線壓平成平緩寬闊的隆起(在寬頻帶上適度回應)。峰的高度與尖銳度完全由阻尼比決定。
對 F_0 = 1、m = 1、k = 100、c = 2,振幅 R(omega) = 1/sqrt((100 - omega^2)^2 + (2 omega)^2) 在小 omega 時很小,在 omega ≈ 10 附近飆到又高又窄的峰,然後在大 omega 時沉向零。
小阻尼(c = 2)造出 omega = 10 附近又尖又高的共振峰。
有阻尼時,振幅峰並不恰好落在自然頻率 omega_0——它略微下移到 omega = omega_0 sqrt(1 - 2 zeta^2)。輕阻尼時偏移可忽略,但並非零,而當 zeta 超過 1/sqrt(2) 時根本沒有峰。