自旋幾何（spin geometry）
一個電子，整整轉一圈 360 度後，回到的不是它自己而是它的負值；你得轉 720 度才能回到起點。這種奇怪的雙值行為就是「自旋」，它不是物理的怪癖，而是關於旋轉群拓樸的事實。自旋幾何是微分幾何中認真看待這件事的部分：它研究配備了一致全域方式來談論旋量的流形，以及作用在它們上的算子（首要是狄拉克算子）。這是幾何、向量叢拓樸與量子物理結合得最緊密之處。
技術核心是自旋群與自旋結構。旋轉群 SO(n) 不是單連通的——對 n >= 3 其基本群是 Z/2——故它有一個連通的雙重覆疊，即自旋群 Spin(n)，而 Spin(n) 中不下降到 SO(n) 的表示就是旋量表示。可定向黎曼流形 M 上的自旋結構，是把它的正交標架叢（一個主 SO(n)-叢）提升為一個主 Spin(n)-叢，且與雙重覆疊相容。這樣的提升存在當且僅當第二史蒂弗-惠特尼類 w_2(M)（在 H^2(M; Z/2) 中）消失，而當它存在時，不等價的選擇構成 H^1(M; Z/2) 上的一個 torsor。給定自旋結構，你便建構旋量叢、克利福德乘法與狄拉克算子；這一切的代數活在克利福德代數 Cl(n) 中，其表示論（及其 mod-8 週期性）支配旋量在各維中的行為。可定向 4-流形上一個較弱但恆可得的概念是 spin-c 結構，這正是塞伯格-威滕理論所用的。
為何它重要：自旋幾何是阿蒂亞-辛格指標定理最銳利形式的自然家園，是經由利希內羅維茨公式的正純量曲率障礙的家園，也是四維流形拓樸中整個塞伯格-威滕革命的家園。誠實的提醒是拓樸性的。其一，並非每個流形都是自旋的——實射影平面與許多其他流形不是——故自旋幾何是有條件的，你在援引狄拉克算子前必須檢查 w_2。其二，「自旋」是額外結構，而非單由度量讀出的性質：一個流形可以容許數個不等價的自旋結構（圓有兩個），它們確實給出不同的狄拉克算子與不同的譜。不要把可定向、自旋與 spin-c 混為一談；它們是巢狀但相異的條件（自旋蘊含 spin-c 蘊含可定向，逆向皆不成立）。
圓 S^1 的 SO(1) 平凡，但其標架叢仍容許兩個不等價的自旋結構，「有界」（反週期）與「無界」（週期）的，由 H^1(S^1; Z/2) = Z/2 標記；所得的狄拉克算子 d/dt 有不同的譜（半整數對整數），這是不等價自旋結構給出不同幾何的最簡單例子。
圓上的兩個自旋結構給出半整數對整數的狄拉克譜——自旋結構是真正的額外資料。
常見的疏失是假設每個可定向流形都是自旋的；障礙是 w_2(M)，而許多自然空間（例如 CP^2）並非自旋但是 spin-c，這正是為何四維流形規範理論用 spin-c 而非自旋結構。