塞伯格-威滕理論（Seiberg-Witten theory）
/ SY-berg WIT-en /
Donaldson 的瞬子不變量極為壯觀，卻難以計算，因為模空間非緊且方程非阿貝爾。1994 年 Seiberg 與 Witten 在物理中寫下四維流形上另一組方程，捕捉了大部分相同的資訊，卻戲劇性地更易處理：模空間是緊的、規範群是阿貝爾的。幾個月內這些方程便重證並推廣了唐納森理論幾乎所有的成果，並成為四維微分拓樸的標準工具。
此架構需要光滑閉可定向 4-流形 X 上的一個 spin-c 結構（恆可得，不像自旋）。未知量是一對：行列式線叢上的一個 U(1) 聯絡 A，以及一個正旋量 phi（正 spin-c 旋量叢的一個截面）。塞伯格-威滕方程是 F_A^+ = sigma(phi) 與 D_A phi = 0——曲率的自對偶部分等於旋量的一個二次表達式 sigma(phi)，而旋量在扭曲狄拉克算子 D_A 的核中。模空間 M 是解在差規範意義下的集合。兩個特點使此理論在唐納森理論掙扎之處奏效：(a) 韋岑伯克／利希內羅維茨公式加上純量曲率給出 phi 的先驗界，故 M 是緊的——不必對抗 Uhlenbeck 起泡；(b) 方程是阿貝爾的（映到 U(1) 的規範群），故分析遠為溫和。對一般度量 M 是光滑緊流形，而塞伯格-威滕不變量 SW(s) 是 M 上點的計數（或某上同調類的積分），依賴於 spin-c 結構 s。
後果是橫掃性的：SW 不變量偵測奇異光滑結構、證明光滑 h-配邊定理的失效、給出 Thom 猜想（CP^2 中複曲線的虧格極小性質，由 Kronheimer-Mrowka 證明），並施加強限制（例如只有有限多個基本類；由 Taubes 的定理 SW = Gromov，凱勒與辛流形有非零 SW 不變量）。誠實的提醒。其一，SW 不變量猜想上（Witten 猜想）與唐納森不變量等價，但二者並非字面上同一個對象；不要宣稱它們相同。其二，整個理論是四維特有的——高維中沒有有用的類比，這部分解釋了為何四維始終獨特地神秘。其三，一個重要的微妙處：當 b_2^+(X) = 1 時不變量依賴於一個室（度量／擾動的標誌），故「不變量」必須連同那個越壁依賴一起陳述，而非當作單一個數。
在一個一般型凱勒曲面上，典範 spin-c 結構有一個直接來自全純資料的塞伯格-威滕解，且 SW 非零；此非消失障礙了任何正純量曲率度量（由利希內羅維茨／韋岑伯克界，它會迫使 phi = 0、從而沒有解），重現並銳化了這類曲面不容許 PSC 度量的事實。
一般型凱勒曲面的非零塞伯格-威滕不變量經由韋岑伯克界障礙正純量曲率。
塞伯格-威滕理論僅存在於四維、使用 spin-c（恆可得）而非自旋；其模空間因一個曲率先驗界而緊，這正是相對於唐納森瞬子的技術優勢，使該領域變得可處理。