特殊欧几里得群 SE(3)

SE(3) 是三维空间中所有刚体运动的完整集合——把一个物体转动并滑到新地方的每一种可能组合，全都汇聚成一个家族。如果说 SO(3) 是所有纯粹旋转的家族，那么 SE(3) 就是更大的那个家族，它还允许物体移动位置：它把每一次旋转都和一次平移配成一对。简而言之，机器人所能做出的任何刚体变换，都是 SE(3) 里的一个成员。

它之所以是一个“群”，理由和旋转一样让人放心：先做一次刚体运动，再做一次，合起来的结果仍然只是一次刚体运动——仍然是一员（封闭性）。每次运动都能被逆转（转回去、滑回去，这是它的逆元），而纹丝不动也算是一员（这是单位元）。所以 SE(3) 是一个自成一体的“摆放”世界，在其中把若干运动串接起来，绝不会把你带到任何不合法的地方。

正因如此，SE(3) 常被称为位姿的天然家园。齐次变换矩阵——机器人之间传递的那个把旋转和位置紧凑打包在一起的对象——正好就是 SE(3) 里的一个点。当工程师说机器人的手臂“在 SE(3) 中运动”时，他们的意思不过是：它的手从一个完整的摆放（位置与朝向合在一起）平滑地走到另一个，沿途依次经过这一个大家族里的成员。