形狀算子（shape operator）
站在空間中的彎曲曲面上，當你朝某個切方向行走時，觀察單位法向量——那支筆直向外指的箭頭。在平坦平面上法向量從不傾斜；在球面上它擺動，球面越彎則擺動越劇。形狀算子正是記錄法向量轉動快慢與方向的精確機器，它把與第二基本形式相同的資料重新打包成一個你可以對角化的整潔線性映射。
對 (N, g-bar) 中的超曲面 M 與選定的單位法向量場 nu，形狀算子 S（又稱魏因加滕映射）是切空間自同態 S(X) = -nabla-bar_X nu，即法向量沿方向 X 變化的切向速率。它相對於誘導度量自伴，並透過 h(X, Y) = g(S(X), Y) 編碼第二基本形式。由於自伴，S 有實特徵值 kappa_1, ..., kappa_(n-1)（主曲率）與單位正交特徵基（主方向）。它的跡是平均曲率 H = kappa_1 + ... + kappa_(n-1)（有些作者取平均），其行列式是高斯-克羅內克曲率（在二維中即內蘊高斯曲率 K = kappa_1 kappa_2）。
它所在之處：主曲率、平均曲率，以及曲面點的分類（橢圓、雙曲、拋物）全都從形狀算子的譜讀出。誠實之言：形狀算子是外蘊的，且依賴於法向定向的選取——翻轉 nu，S 變號（故平均曲率變號，但二維中的高斯曲率 det S 不變，因為二維行列式不變）。它與第二基本形式內容相同，只是視為算子而非雙線性形式；切勿把它們當作獨立的資料。
在半徑 a 的球面上取外法向量，法向量恰與你的運動平行移動，故 S = (1/a) 乘以恆等映射：兩個主曲率都等於 1/a，平均曲率 2/a，高斯曲率 det S = 1/a^2。在半徑 r 的圓柱上，主曲率為 1/r（環繞）與 0（沿軸），故 det S = 0——外蘊彎曲、內蘊平坦。
形狀算子的特徵值是主曲率；其在二維的行列式是高斯曲率。
形狀算子依賴於單位法向量的選取：翻轉 nu 會翻轉 S（與平均曲率的正負號）。它所含資訊與第二基本形式完全相同——二者是同一對象的兩種觀點，而非兩份資料。