高斯-科達齊方程（Gauss-Codazzi equations）
/ GOWSS koh-DAHT-see /
子流形有兩層幾何：它因坐落於周圍空間而繼承的曲率，以及周圍空間本身的曲率。高斯-科達齊方程正是二者之間的精確相容關係——說明子流形的內蘊曲率、周圍曲率與第二基本形式必須如何彼此契合的規則。它們是高斯曲面理論在高維、全面的推廣。
設 M 是 (N, g-bar) 的子流形，帶第二基本形式 II 與形狀算子 S。把周圍黎曼張量分解為切向與法向部分，得到三個恆等式。高斯方程表達 M 的內蘊曲率：R(X,Y,Z,W) = R-bar(X,Y,Z,W) + g(II(X,W), II(Y,Z)) - g(II(X,Z), II(Y,W))——內蘊曲率等於周圍曲率加上 II 的二次修正。科達齊（-邁納爾迪）方程支配法向分量，把 II 的協變導數與周圍曲率的法向部分聯繫起來：(nabla_X II)(Y,Z) - (nabla_Y II)(X,Z) 等於 R-bar(X,Y)Z 的法向投影。里奇方程處理法叢的曲率。它們合起來打包了內蘊與外蘊幾何彼此約束的所有方式。
為何居核心：對平坦 R^3 中的曲面，高斯方程退化為 K = det(S) = kappa_1 kappa_2——高斯曲率等於主曲率之積——這就是高斯絕妙定理，即一個外蘊定義的量（透過 II）竟然是內蘊的這個驚人事實。反過來，曲面理論基本定理說，滿足高斯-科達齊的第一與第二基本形式在局部上決定 R^3 中的一個曲面，至多差一個剛體運動。誠實的提醒：在彎曲的周圍空間中，周圍項 R-bar 不消失，所以「K = det S」是平坦背景的特例；完整的高斯方程總是帶有周圍曲率項。
對平坦 R^3 中的曲面，R-bar = 0，故高斯方程塌縮為 K = kappa_1 kappa_2。半徑 a 的球面有 kappa_1 = kappa_2 = 1/a，給出 K = 1/a^2；鞍面有正負相反的主曲率，給出 K < 0。重點：這裡 K 由外蘊資料（主曲率）算出，卻是內蘊不變量——正是絕妙定理。
在平坦 R^3 中，高斯方程即絕妙定理，K = kappa_1 kappa_2：外蘊資料產出內蘊不變量。
乾淨的 K = det(S) 是「平坦」周圍空間的特例；在彎曲背景中，高斯方程總包含周圍曲率項 R-bar。在未確認周圍空間平坦前，別引用「K 等於主曲率之積」。